Система със степенен показател х и у

[Гост]

[tex]\begin{array}{|l} 25^{2x } + 25^{2y }= 30 \\ 25^{x+y }=5 \sqrt{5} \end{array}[/tex]

[ammornil]

Screenshot 2022-12-04 113218.png (25.72 KiB) Прегледано 1282 пъти

Скрит текст: покажи

Screenshot 2022-12-04 113409.png (46.14 KiB) Прегледано 1282 пъти

[mail_dinko]

[tex]\begin{array}{|l} 25^{2x } + 25^{2y }= 30 \\ 25^{x+y }=5 \sqrt{5} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 5^{4x } + 5^{4y }= 30 \\ 5^{2(x+y) }=5^{\frac32} \end{array} \Leftrightarrow 2(x+y) = \frac 32 \Rightarrow x+y = \frac 34\Rightarrow{y = \frac{3}{4} - x}[/tex]

[tex]5^{4x}+5^{4 (\frac34 -x)}=30 \Leftrightarrow 5 ^{4x} + 5 ^{3 - 4x}=30 \Leftrightarrow 5 ^{4x} + \frac {5 ^3}{5 ^{4x}}=30[/tex]
Полагаме [tex]t=5^{4x}>0[/tex]
[tex]t + \frac {125}{t}=30|.t>0 \Leftrightarrow t^2 -30t+125 =0[/tex]
[tex]D= 15^2 - 125 = 10^2[/tex]
[tex]t_{1,2} = 15 \pm 10[/tex]
[tex]t_1 = 25 \in DM \Rightarrow 5 ^{4x}=25 \Rightarrow 4x=2 \Rightarrow x_1 = \frac 12[/tex]
[tex]t_2 = 5 \in DM \Rightarrow 5 ^{4x}=5 \Rightarrow 4x=1 \Rightarrow x_2 = \frac 14[/tex]