СИСТЕМА

[titi85]

зад.2.JPG (13.46 KiB) Прегледано 1274 пъти

[ammornil]

[tex]\begin{array}{|l} \Large{\frac{x^{2}+7x+6}{x^{2}}} \normalsize{\ge6} \\ 2x^{2}+5x+2 > 0 \\ \Large{\frac{x^{2}-2x-1}{x^{2}+2}} \normalsize{ < 0} \end{array}[/tex]

[tex]\text{ДМ: } \begin{array}{|l} x^{2} \ne 0 \\ x^{2}+2 \ne 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x \ne 0 \\ \forall x \in R \end{array} \Rightarrow x \in (- \infty;0) \cup (0; \infty)[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \Large{\frac{x^{2}+7x+6}{x^{2}}} \normalsize{\ge 6 \hspace{2em} |.x^{2}\ne0} \\ 2x^{2}+5x+2 > 0 \\ \Large{\frac{x^{2}-2x-1}{x^{2}+2}} \normalsize{ < 0 \hspace{2em} |.x^{2}+2 >0, \forall x \in R} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{2}+7x+6\ge6x^{2} \\ 2x^{2}+5x+2 > 0 \\ x^{2}-2x-1<0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 5x^{2}-7x-6 \le 0 \\ 2x^{2}+5x+2 > 0 \\ x^{2}-2x-1<0 \end{array}[/tex]

Разлагаме всеки от изразите на множители:
[tex]5x^{2}-7x-6 \rightarrow x_{1,2}=\frac{7 \mp \sqrt{(-7)^{2}-4.5.(-6)}}{2.5}=\frac{7 \mp \sqrt{169}}{10}=\frac{7 \mp 13}{10} \rightarrow \begin{cases} x_{1}=-\Large{\frac{3}{5}} \\ x_{2}=2 \end{cases}[/tex]
$$ 5x^{2}-7x-6=5\left( x+\frac{3}{5} \right)(x-2)$$

[tex]2x^{2}+5x+2 \rightarrow x_{1,2}=\frac{-5 \mp \sqrt{(-5)^{2}-4.2.2}}{2.2}=\frac{-5 \mp \sqrt{9}}{4}=\frac{-5 \mp 3}{4} \rightarrow \begin{cases} x_{1}=-2 \\ x_{2}=-\Large{\frac{1}{2}} \end{cases}[/tex]
$$ 2x^{2}+5x+2=2(x+2)\left( x+\frac{1}{2} \right)$$

[tex]x^{2}-2x-1 \rightarrow x_{1,2}=\frac{2 \mp \sqrt{(-1)^{2}-1(-1)}}{1}=\frac{2 \mp \sqrt{2}}{1}=2 \mp \sqrt{2} \rightarrow \begin{cases} x_{1}=2-\sqrt{2} \\ x_{2}=2+\sqrt{2} \end{cases}[/tex]
$$ 5x^{2}-7x-6=5(x-2+\sqrt{2})(x-2-\sqrt{2})$$

Системата приема вида:
[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} 5\left( x+\frac{3}{5} \right)(x-2)\le0 \\ 2(x+2)\left( x+\frac{1}{2} \right) > 0 \\ 5(x-2+\sqrt{2})(x-2-\sqrt{2}) < 0 \end{array}[/tex]

Намираме решенията чрез Метод на интервалите, пресичаме с ДМ:

Screenshot 2023-01-28 085225.png (40.66 KiB) Прегледано 1260 пъти

Решенията са: $$ x \in (2-\sqrt{2};2] $$

[Евва]

Едно уточнение -при решаването на третото нерав. има малка грешка .
[tex]x^{2 }[/tex]-2х-1 =0 формулата за корените е [tex]x_{1,2 }[/tex]= [tex]\frac{- k \pm \sqrt{D} }{а}[/tex]

Аз получих краен отговор х[tex]\in[/tex]( -0,5 ; 1-[tex]\sqrt{2}[/tex])

[ammornil]

Да, отлично забелязано. Благодаря, Евва. Забравил съм да разделя на две коефициента пред първата степен.