Две системи

[nikola.topalov]

Система [tex]1[/tex]:
$$\begin{array}{|l} 2x\sqrt{1-y^2}+2y\sqrt{1-x^2}=1\\ 4x^2-4xy+4y^2=3\end{array}$$
Система [tex]2[/tex]:
$$\begin{array}{|l} \log_2^2 x+y\log_{2}x+2y=4 \\ y^{2}+x-xy=1 \end{array}$$

[Евва]

Система 2
Получих три отговора ( [tex]\frac{1}{4}[/tex]; 1 ) , ( 2;1 ) и ( [tex]\frac{1}{4}[/tex] ; - [tex]\frac{3}{4}[/tex] ) .
Затруднява ме намирането на четвъртия отговор .

[nikola.topalov]

За втората система получавам абсолютно същият отговор. Оказва се, че четвъртият отговор, за който говорите, съвпада с [tex](x,y)=(2,1)[/tex], който произлиза от уравнението [tex]\log_{2} x=3-x[/tex].

Скрит текст: покажи

Ако то Ви е затруднило, ето и моите разсъждения: Трябва да се забележи, че [tex]\log_2 x[/tex] е растяща функция, а [tex]3-x[/tex] е намаляваща функция за всяко [tex]x[/tex] от дефиниционното множество на дадената система. Тоест уравнението има единствено решение, което се оказва [tex]x=2[/tex].

[Davids]

Тази първата откъде е? Питам, поради защото й липсва типичната нагласеност за приятни сметки, та да знаем как да подходим.
Волфрам потвърждава това съмнение. Да не е нещо от аналитичната геометрия (елипсата ме навежда на тази мисъл)?
Иначе някои няблюдения, които нямам времето да доразвия:
- имаме пълна симетрия около y = x;
- първото уравнение плаче за тригонометрични полагания или ако не това, то нещо тип $(x+\sqrt{1-y^2})^2 + (y +\sqrt{1-x^2})^2 = 3$ или някаква такава врътка с квадратите на сборовете... оттам обаче после мъка с тия корени;
- елипсата от второто уравнение е добра отправна точка, аз бих хванал да я канонизирам (тя си е вече центрирана, ами и да я изправим). Вероятно оттам ще се олекотят малко сметките и ще излезе нещо по-симетрично.

[nikola.topalov]

Първата е авторска.

[pal702004]

На първата, с тригонометрична постановка получавам

$\left(\dfrac{\sqrt 2}{2};\dfrac{1-\sqrt 3 }{2 \sqrt 2}\right)$

с пермутация. Оставих ирационалност в знаменателя - майната му