Система с факториели

[Martin Nikovski]

Попаднах на една система в един доста стар сборник... сигурно не е много трудна, но просто никога не съм решавал такива... ако някой може да покаже как става...
[tex]\begin{tabular}{|l}x!=y\\\frac{z!}{2 }=y^3+6y^2\\\left(z-x\right)!=\frac{z!}{y }-3000x \end{tabular}[/tex]
[tex]x,y,z\in N[/tex]
Благодаря предварително!

[martin123456]

Махаме [tex]y[/tex] като неизвестно. Системата става
[tex]\begin{tabular}{|l}\frac{z!}{2 }=(x!)^3+6(x!)^2\\\left(z-x\right)!=\frac{z!}{x! }-3000x \end{tabular}[/tex]
[tex]x,z\in N[/tex]
От 1вото уравнение [tex]\frac{z!}{x!}=2(x!)^2+12x![/tex], заместваме във 2рото: [tex](z-x)!=2(x!)^2+12x!-3000x[/tex].
1. [tex]x!|(z-x)! \Leftrightarrow z \ge 2x[/tex]
[tex]\Rightarrow x!|3000x \Rightarrow (x-1)!|3000[/tex]. [tex]7!>3000[/tex], [tex]6!<3000[/tex]. Проверяваме кой факториел дели 3000. Всички преди него също ще го делят. [tex]5![/tex] е ок. Значи [tex]x-1 \in \{0,1,2,3,4,5\}[/tex]. Следва заместване [tex]\ldots[/tex].
2. [tex]z \le 2x[/tex]
[tex]\Rightarrow (z-x)! < x! \Rightarrow 2(x!)^2+11x!-3000x < 0[/tex]. Ако [tex]11x!>3000x[/tex] неравенството не е изпълнено, а последното се случва за [tex]11(x-1)!>3000 \Rightarrow (x-1)!>273 \Rightarrow x-1 > 5[/tex]. Значи искаме [tex]x-1 \in \{0,1,2,3,4,5\}[/tex]. И значи пак същите проверки.

[Martin Nikovski]

Много благодаря!