Система

[Гост]

Здравейте, бихте ли помогнали с решаването на тази система:
[tex]\begin{array}{|l} x^{3 } - 2 у^{3 } = 2 x^{2 }у - х у^{2 } \\ (х+1)(у+1) = 10 \end{array}[/tex]

Стигам до х =2у или [tex]x^{2 }[/tex] + [tex]у^{2 }[/tex] = 0

[Гост]

Намерих първите две решения, когато х =2у, но не мога да намеря другите две.

[S.B.]

Здравейте, бихте ли помогнали с решаването на тази система:
[tex]\begin{array}{|l} x^{3 } - 2 у^{3 } = 2 x^{2 }у - х у^{2 } \\ (х+1)(у+1) = 10 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x^{3 } - 2 y^{3 } = 2 x^{2 }y - x y^{2 } \\ (x + 1)(y + 1) = 10\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{3 } -2 x^{2 }y + x y^{2 } - 2 y^{3 } = 0 \\ (x + 1)(y + 1) = 10 \end{array}[/tex]

От второто уравнение е очевидно,че двойката $(0,0)$ не е с сред решениятана системата.
[tex]y \ne 0[/tex]
Делим първото уравнение на [tex]y^{3 }[/tex] и получаваме:

[tex]( \frac{x}{y}) ^{3 } - 2 ( \frac{x}{y}) ^{2 } + \frac{x}{y} - 2 = 0[/tex]
Нека [tex]\frac{x}{y} = k[/tex]

[tex]k^{3 } - 2 k^{2 } + k - 2 = 0 \Leftrightarrow k^{2 }(k - 2) + (k - 2) = 0 \Rightarrow (k - 2)( k^{2 } + 1) = 0[/tex]
[tex]k^{2 } + 1 > 0 \Rightarrow[/tex] Остава [tex]k - 2 = 0 \Leftrightarrow k = 2 \Leftrightarrow \frac{x}{y} = 2 \Rightarrow x = 2y[/tex]

Комбинирам с второто уравнение:

[tex]\begin{array}{|l} x = 2y \\ (x + 1)(y + 1) = 10 \Leftrightarrow (2y + 1)(y + 1) = 10 \Leftrightarrow \end{array}[/tex]

[tex]2y^{2 } + 3y -9 = 0 , D = 9^{2 } , y_{1,2 } = \frac{-3 \pm 9}{4} , y_{1 } = \frac{3}{2} , y_{2 }= -3[/tex]
[tex]x = 2y \Rightarrow x_{1 } = 3 , x_{2 } = -6[/tex]
Решенията са :
$$(3, \frac{3}{2} ) , (-6,-3)$$

Скрит текст: покажи

Не забравяйте,че с [tex]k^{2 } + 1 \ne 0[/tex] част от решенията се елиминират!

[Гост]

Благодаря Ви. Защо [tex]к^{2 }[/tex] + 1>0?

[S.B.]

Благодаря Ви. Защо [tex]к^{2 }[/tex] + 1>0?

Квадрата на всяко реално число е положително число.Когато към едно положително число прибавим [tex]1>0[/tex] какво число се получава?

[Гост]

Благодаря Ви, много съм разсеян нещо и съвсем не го съобразих.

[Евва]

Ето още един начин :
[tex]\begin{array}{|l} x^{3 } +x у^{2 } = 2 x^{2 }у+2 у^{3 } \\ ху+( x +y) = 9 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x( x^{2 }+ у^{2 }) = 2у( x^{2 }+ у^{2 } )\\ x y+(х+у) = 9 \end{array}[/tex]

Двойката (0 ;0) не е решение на системата и делим първото ур-е на [tex]x^{2 } +у^{2 }[/tex] [tex]\ne[/tex]0 .

[tex]\begin{array}{|l} x = 2у (А) \\ ху+(x + y )= 9 \end{array}[/tex]

Намереният х заместваме във второто ур-е и получаваме 2у.у+2у+у =9
2[tex]у^{2 }[/tex]+3у-9 =0 с корени [tex]у_{1 } = \frac{3}{2}[/tex] и [tex]у_{2 } = - 3[/tex]

Връщаме се към (А) и намираме [tex]x_{1 }=3[/tex] и [tex]x_{2 } = -6[/tex]
(3 ;[tex]\frac{3}{2}[/tex]) и ( -6 ; - 3)