Системи

[Гост]

Здравейте! Моля за помощ за две системи.

[Гост]

За първата система предлагам разкриване на скобите и изразяване на всичко чрез новите неизвестни $u=x+y$ и $v=xy$.

Получих системата $\begin{array}{|l}u^2+uv+v^2+u-v=2\\u-v=-5\end{array}$

и от нея - еквивалентната $\begin{array}{|l}(u+v)^2=1\\uv=-6\end{array}$

Сега от обратната Теорема на Виета виждаме, че $u$ и $v$ са корени на уравненията $t^2\pm t-6=0$

$(u,v)\in\{(3;-2),(-2;3),(2;-3),(-3;2)\}$

И от полагането $u=x+y$ и $v=xy$, $x$ и $y$ са решения на системите:

$\begin{array}{|l}x+y=3\\xy=-2\end{array}\cup\begin{array}{|l}x+y=-2\\xy=3\end{array}\cup\begin{array}{|l}x+y=2\\xy=-3\end{array}\cup\begin{array}{|l}x+y=-3\\xy=2\end{array}$

Можем да решим тези системи, съставяйки квадратни уравнения, отново използвайки обратната Теорема на Виета.

За първата система уравнението е $t^2-3t-2=0\Rightarrow t=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$

За втората система уравнението е $t^2+2t+3=0\Rightarrow D_1=1-3<0$ - няма решение в реални числа.

За третата система уравнението е $t^2-2t-3=0\Rightarrow t=\frac{1\pm2}{1}=3;-1$

За четвъртата система уравнението е $t^2+3t+2=0\Rightarrow t=\frac{-3\pm1}{2}=-2;-1$

Окончателно следва да запишем $(x,y)\in\{\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2};\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right),\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2};\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right),\left(3;-1\right),\left(-1;3\right),\left(-2;-1\right),\left(-1;-2\right)\}$

[pal702004]

Това, че чат-ботовете пишат глупости при математически задачи ми е известно. Какъв е смисъла да се преписва тук? Теорема на Виета. Поне да си беше направил труда да провериш отговорите.

[Гост]

Може би се чудите как след полагането $x+y=u;\ xy=v$ се стига до първата система. Второто уравнение се преобразува сравнително лесно: $(1-x)(1-y)=6\Leftrightarrow 1-x-y+xy=6\Leftrightarrow xy-(x+y)=5\Leftrightarrow v-u=5$

Първото - малко по-трудно: $(x^2+x+1)(y^2+y+1)=3\Leftrightarrow x^2y^2+x^2y+xy^2+xy+x^2+x+y^2+y+1=3\Leftrightarrow (x+y)^2+xy(x+y)+xy+x^2+x+y^2+y=2\Leftrightarrow (xy)^2+xy(x+y)+xy+(x+y)^2-2xy+x+y=2\Leftrightarrow v^2+uv+v+u^2-2v+u=2\Leftrightarrow u^2+uv+v^2+u-v=2\Leftrightarrow (u+v)^2-uv+(-5)=2\Leftrightarrow (u+v)^2-uv=7$

Сега, като повдигнем двете страни на второто уравнение на квадрат, получаваме $u^2-2uv+v^2=25\Leftrightarrow (u+v)^2-4uv=25$, тоест имаме системата $\begin{array}{|l}(u+v)^2-uv=7\\(u+v)^2-4uv=25\end{array}$. Тук, като извадим почленно от първото уравнение второто, получаваме $3uv=-18\Rightarrow uv=-6$ и съответно като заместим тази стойност в някое от уравненията на системата, $(u+v)^2=1$

[Гост]

Това, че чат-ботовете пишат глупости при математически задачи ми е известно. Какъв е смисъла да се преписва тук? Теорема на Виета. Поне да си беше направил труда да провериш отговорите.

Напълно сте прав! Писал съм пълни глупости. Само две от двойките решения са верни.

[pal702004]

Сега, като повдигнем двете страни на второто уравнение на квадрат

ще получим и излишни решения, при които $v-u=-5$

[S.B.]

Още един поглед върху задачата :

$$\begin{array}{|l} ( x^{2 }+ x + 1)( y^{2 } + y +1) = 3 \\ (1 - x)(1 - y) = 6 \end{array}$$

Умножавам почленно двете уравнения:

[tex](x^{2 } + x + 1)( y^{2 } + y + 1). (1 - x)(1 - y) = 18 \Leftrightarrow (1 - x)(1 +x + x^{2 }) . (1 - y)(1 + y + x^{2 }) = 18[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (1 - x^{3 } )(1 - y^{3 }) = 18[/tex]
Полученото уравнение комбинирам с второто уравнение от дадената система:

[tex]\begin{array}{|l} (1 - x^{3 } )(1 - y^{3 }) = 18 \\ (1 - x)(1 - y) = 6 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 1 - y^{2 } - x^{3 }+ x^{3 } y^{3 } = 18 \\ 1 - y - x + xy = 6 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{3 } y^{3 } - ( x^{3 }+ y^{3 }) = 17 \\ xy -(x + y) = 5 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x^{3 } y^{3 } - (x + y)( x^{2 } - xy + y^{2 })= 17 \\ xy -(x + y) = 5 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{3 } y^{3 } - (x+y)[ (x + y)^{2 } - 3xy)] = 17\\ xy - (x+y) = 5 \end{array}[/tex]

Полагам :
[tex]x + y = u ; xy=v[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} v^{3} - u( u^{2 }- 3v) = 17 \\ v - u = 5 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} v^{3 }+ 3uv - u^{3 } = 17\\ v = 5 + u\end{array} \Leftrightarrow (5 + u)^{3 } + 3u(5 + u) - u^{3 } = 17[/tex]

[tex]125 + 75u + 15 u^{2 } + u^{3 } + 15u + 3 u^{2 } - u^{3 } = 17 \Leftrightarrow[/tex] (след преработка)
[tex]u^{2 } + 5u + 6 = 0 ,D = 1 , u_{1,2 } = \frac{-5 \pm 1}{2}[/tex]
[tex]u_{1 } = -2 , v_{1 } = 3 ; u_{2 } = -3 , v_{2 } = 2[/tex]

Връщам се към субституцията:

[tex]\begin{array}{|l} x + y = -2 \\ x y = 3 \end{array}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{array}{|l} x + y = -3\\ x y = 2 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x + y = -2 \\ x y = 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x = -(y + 2) \\ y(y + 2) = -3 \end{array} \Leftrightarrow y^{2 } + 2y +3 = 0 , D = -8 < 0 \Rightarrow[/tex] системата няма решение

[tex]\begin{array}{|l} x + y = -3 \\ x y = 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x = -(3 + y) \\ y(3 + y) = -2 \end{array} \Leftrightarrow y^{2 } + 3y + 2=0 ,D = 1 , y_{1,2 } = \frac{-3 \pm 1}{2}[/tex]
[tex]y_{1 } = -1 , x_{1 } = -2 ; y_{2 } = -2 , x_{2 } = -1[/tex]

Решенията са :
$$( - 2,- 1) ; (-1,-2)$$

[Гост]

Втората система $\begin{array}{|l}y^2-|xy|+2=0\\x^2+(x+2y)^2=8\end{array}$ можем да решим, като първото уравнение умножим по 4 и прибавим към второто.

Получаваме $x^2+4y^2-4|xy|+8+(x+2y)^2=8\Leftrightarrow(x\pm2y)^2+(x+2y)^2=0$

Понеже $(0;0)$ не е решение на първоначалната система, трябва $x=-2y$. Като заместим в първото уравнение, получаваме $y^2-|-2y^2|+2=0\Rightarrow-y^2=-2\Rightarrow y=\pm\sqrt{2}$

$(x,y)\in\{(-2\sqrt{2};\sqrt{2}),(2\sqrt{2};-\sqrt{2})\}$

[ptj]

[tex]\begin{array}{|l} ( x^2+ x + 1)( y^2 + y +1) = 3 \\ (1 - x)(1 - y) = 6 \end{array}[/tex]

Във второто уравнение веднага забелязаваме възможността множителите от ляво да са 2 и 3 или -2 и -3. Проверяваме ги и намираме, че втората двойка съответства на решение.

Заради симетричността на системата ако [tex](x_0,y_0)[/tex] е решение, то и [tex](y_0,x_0)[/tex] също е решение.

Полагаме [tex]u=x-1, v=y-1[/tex] и получаваме

[tex]\begin{array}{|l} ( u^2+3u +3)(v^2+3v+3) = 3 \\uv = 6 \end{array} \Leftrightarrow[/tex] (вече знаем,че тук [tex](-2;-3)[/tex] и [tex](-3;-2)[/tex] са решения)

[tex]\begin{array}{|l} ( u^2+3u +3)(\frac{36}{u^2}+ \frac{18}{u} +3) = 3 \\uv = 6 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} u^4+9u^3 +32 u^2+54u +36=0 \\uv = 6 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

Знаем два от корените на първото уравнение, затова с деление на полиноми или схема на Хорнер можем да го разложим.

[tex]\begin{array}{|l} (u+2)(u+3)(u+4u+6)=0 \\uv = 6 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} (u+2)(u+3)((u+2)^2+2) \\uv = 6 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

Окончателно последната система има само две решения : (-2;-3) и (-3;-2).

Връщаме се назад в полагането и намираме съответните решения за [tex](x;y)[/tex] : (-1;-2) и (-2;-1).

[S.B.]

Още един поглед върху втората система

$$\begin{array}{|l} y^{2 } - |xy| + 2 = 0 \\ 8 - x^{2 } = (x - 2y)^{2 } \end{array}$$

Разглеждам 2 случая:
[tex]\begin{array}{|l} y^{2 } - xy + 2 = 0 \\ 8 - x^{2 } = (x - 2y)^{2 } \end{array}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{array}{|l} y^{2 } + xy + 2 =0 \\ 8 - x^{2 } = (x - 2y)^{2 } \end{array}[/tex]
Очевидно е, че двойката $(0,0)$ не е решение на системата.

1)
[tex]\begin{array}{|l} y^{2 } - xy + 2 = 0 \\8 - x^{2 } = (x +2y)^{2 } \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y^{2 } - xy = -2 \\ 2 y^{2 } + 2xy + x^{2 } = 4 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y^{2 }(1 - \frac{x}{y}) = -2 \\ y^{2 }(2 + 2 \frac{x}{y} + \frac{ x^{2 } }{ y^{2 } }) = 4 \end{array}[/tex]
[tex]y^{2 } \ne 0 , \frac{x}{y} = t[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} y^{2 }(1 - t) = -2 \\ y^{2 }(2 + 2t + t^{2 }) = 4 \end{array}[/tex]
[tex]y^{2 } \ne 0 , t^{2 } + 2t + 2 \ne 0[/tex]
Деля почленно двете уравнения и получавам:

[tex]\frac{1 - t}{ t^{2 } + 2t + 2} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow t^{2 } = -10 \Rightarrow[/tex] няма решение

2)
[tex]\begin{array}{|l} y^{2 } + xy + 2 = 0 \\ 2 y^{2 } + 2xy + x^{2 } = 4 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y^{2 }(1 + \frac{x}{y} ) = -2\\ y^{2 }(2 + 2 \frac{x}{y} + \frac{ x^{2 } }{ y^{2 } }) = 4 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y^{2 }(1 + t) = -2 \\ y^{2 }(2 + 2t + t^{2 }) = 4 \end{array}[/tex]

[tex]\frac{ y^{2 }(1 + t) }{ y^{2 }( t^{2 } + 2t + 2 )} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1 + t}{ t^{2 } + 2t + 2 } = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow t^{2 } + 4t + 4 = 0 \Leftrightarrow (t + 2)^{2 } = 0 \Rightarrow t = -2[/tex]

[tex]t = \frac{x}{y} \Rightarrow \frac{x}{y} = -2[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle \frac{x}{y} = -2 \\ y^{2 } + xy + 2 =0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x = -2y\\ y^{2 } - 2 y^{2 } + 2 = 0\end{array} \Leftrightarrow y^{2 } - 2 = 0 \Leftrightarrow (y + \sqrt{2})(y - \sqrt{2}) = 0[/tex]
[tex]\Rightarrow y_{1 } = - \sqrt{2} , x_{1 } 2 \sqrt{2} , y_{2 } = \sqrt{2} , x_{2 } = -2 \sqrt{2}[/tex]
Решението е:
$$(2 \sqrt{2} , - \sqrt{2} ) ; (-2 \sqrt{2} , \sqrt{2} )$$

[batsev]

Не знам всичките тези преобразувания и полагания дали наистина ни улесняват решението. Като от второто у-е изразим х получаваме полином от 4-та степен за у,
приравнен на 0, който лесно излиза с Хорнер.