Система

[student]

Затрудняваме една задача:

[tex]\begin{tabular}{|l}x^2+y=28\\y^2+x=14 \end{tabular}[/tex]

Бохте ли ми помогнали. Задачата ми изглежда лесна, но нещо не мога да се сетя как се решава.

[martin123456]

от 1вото [tex]y=28-x^2[/tex]
заместваме във 2рото [tex](28-x^2)^2+x=14[/tex]. То има корен [tex]x=5[/tex]. Разписваме го [tex]28^2-2.28x^2+x^4+x=14 \Leftrightarrow x^4-56x^2+x+770=0[/tex]. Разделяме с [tex]x-5[/tex] и получаваме [tex]g(x)=x^3+5x^2+31x-154[/tex]. [tex]g'(x)=3x^2+10x+31[/tex], което има дискриминанта [tex]100-4.3.31<0[/tex] [tex]\Rightarrow g'(x)>0 \Rightarrow g(x) \uparrow[/tex]. [tex]g(3)>0[/tex],[tex]g(2)<0[/tex], значи има корен в [tex](2,3)[/tex].
Както ни е дадена системата забелязваме че при горното гледайки 2ро у-ние [tex]y^2 \in (11, 12)[/tex]. Гледайки 1вото у-ние [tex]y \in (19,24)[/tex] оттук следва несъвместимост
значи единствено [tex](5,3)[/tex]

[L.e.o]

Мартине, има ли решение без да посочваме предварително корен?

[allier]

Има, да. Като стигнем до уравнението от 4-та степен, използваме Хорнер и намираме, че 5 е корен.

[ganka simeonova]

Интересно ми е, дали може да се реши и без производни?

[kerry]

Според мен системата си има четири решения. Остава само да намерим още три.

parabola.JPG (27.83 KiB) Прегледано 556 пъти

[martin123456]

объкал съм знака на събираемо в [tex]g(x)[/tex].
от 1вото [tex]y=28-x^2[/tex]
заместваме във 2рото [tex](28-x^2)^2+x=14[/tex]. То има корен [tex]x=5[/tex]. Разписваме го [tex]28^2-2.28x^2+x^4+x=14 \Leftrightarrow x^4-56x^2+x+770=0[/tex]. Разделяме с [tex]x-5[/tex] и получаваме [tex]g(x)=x^3+5x^2-31x-154[/tex]. [tex]g'(x)=3x^2+10x-31\ldots[/tex]
[tex]D_{g'(x)}=100+4.3.31=472 \approx 21.7^2 \Rightarrow x_1 \approx -5.2[/tex], [tex]x_2 \approx 1.9[/tex]. Още [tex]g(x_1) \approx 1.792[/tex], [tex]g(x_2) \approx -188[/tex]. Значи тази функция има 3 реални корена.