Система xy+x+y=5 и x^2+3xy+y^2=1

[mea]

Да се реши системата уравнения xy+x+y=5 и x^2+3xy+y^2=1

[tryagainD]

Да се реши системата уравнения xy+x+y=5 и x^2+3xy+y^2=1

[tex]\begin{array}{|l} xy + x + y = 5 \\ x^{2 } + 3xy + y^{2 } = 1 \end{array}[/tex]

Важното в тази задача е да забележим, че системата е хомогенна, т.е. като разменим местата на [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] се получават същите равенства. В такива случаи се стремим да направим уравнения съдържащи само [tex](x + y)[/tex] и [tex](xy)[/tex] и след това да положим [tex]x + y = t[/tex] и [tex]xy = s.[/tex]

В конкретната задача трябва само да използваме във второто уравнение формула за съкратено умножение
[tex]a^{2 } + 2ab + b^{2 } = (a + b)^{2 }[/tex], т.е.
[tex]x^{2 } + 2xy + y^{2 } + xy =(x + y)^{2 } + xy = 1[/tex] и вече имаме система, съдържаща само [tex](x+y)[/tex] и [tex](xy)[/tex]:
[tex]\begin{array}{|l} xy + (x + y) = 5 \\(x + y)^{2 } + xy = 1 \end{array}[/tex]
Полагаме [tex]x + y = t[/tex] и [tex]xy = s[/tex]:
[tex]\begin{array}{|l} s + t = 5 \\ t^{2 } + s = 1 \end{array}[/tex]
Вадим първото равенство от второто, за да се отървем от [tex]s[/tex] и получаваме квадратно уравнение:
[tex]t^{2 } - t + 4 = 0[/tex]
[tex]D = 1 - 16 < 0[/tex]
И изглежда дискриминантата е отрицателна значи няма реални корени.