Интересна система

[ammornil]

Да се намерят реалните решения на системата $$ \begin{array}{|l} x +y +z= 6 \\[6pt] x^{2}+y^{2}+z^{2} =14 \\[6pt] x^{3}+y^{3}+z^{3} =36 \end{array} $$

[pal702004]

Колко да е интересна, за определяне на коефициентите на кубичното уравнение е достатъчно да се определят $x+y+z,xy+yz+zx,xyz$, което при такова условие не е никак трудно. В случая и това не е необходимо, понеже с просто око се вижда, че решенията са пермутации на $(1,2,3)$ (Корените на кубичното уравнени). Можеше само единият корен да е цял, а другите два - ирационални, за да има някаква интрига.

[ammornil]

Ммм, на мен ми харесва, трябва да се сетиш какво свързва трите леви страни и как да ги разложиш. Не толкова самата сложност на сметките, колкото идеята.

[Darina73]

Съгласна съм с pal702004 .
Решението ми е дългичко ,но не е трудно .
Получих (1;2;3) ,(2,1,3) ,(1,3,2) ,(3,1,2) ,(2,3,1) и (3,2,1) .
Интересно ми е , как ще се справят учениците .

[ammornil]

Аз не казах, че задачата е трудна. Само, че ми е интересна.

[Гост]

Да се намерят реалните решения на системата $$ \begin{array}{|l} x +y +z= 6 \\[6pt] x^{2}+y^{2}+z^{2} =14 \\[6pt] x^{3}+y^{3}+z^{3} =36 \end{array} $$

Ученик тук, поправете ме ако имам грешка.
Не е много елегантно.

Повдигам $x + y + z$ на $2$ степен, понеже $6^2 = 36$ (в бъдеще можем да получим нещо друго относно първото и третото уравнение)
Чрез разкриване на скоби: $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2 * x * y + 2 * x * z + 2 * y * z = x^2 + y^2 + z^2 + 2 * (x * y + x * z + y * z) = 6^2 = 36$
От $2$-то уравнение знам, че $x^2 + y^2 + z^2 = 14$. Замествам: $x * y + y * z + x * z = (36 -14) / 2 = 11$

Щом съм повдигнал на $2$ степен е логично да пробвам с $3$та степен.
Чрез разкриване и разлагане $(x + y + z) ^ 3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3 * (x + y) * (x + z) * (y + z)$
Замествам $x^3 + y^3 + z^3$ с $36$.
$36 + 3 * (x + y) * (x + z) * (y + z) = 6 * 6 * 6 = 36 * 6$
$3 * (x + y) * (x + z) * (y + z) = 36 * 6 - 36 = 36 * 5 = 180$
$(x + y) * (x + z) * (y + z) = 60$

Това като го видях се сетих, че $x + y + z = 6$ и евентуално можем да изразим сбора на две буквички с $6 - третата$. (идея А)
Дотук имаме $(x + y) * (x + z) * (y + z) = 60$ и $x * y + y * z + x * z = 11$.
Второто равенство ми се стори леко рандъм и че не мога да му правя кой знае какво, затова не го пипах. (идея Б)
Затова се пробвах да изразя по някакъв начин $x * y + y * z + x * z = 11$ в $(x + y) * (x + z) * (y + z) = 60$ (идея В)
Друг начин по който можем да го мислим е да изразим всичко с една буквичка ако го измислим : ) (идея Г)

Първоначално се борих срещу идея Б и се опитвах да го разложа: $x * y + y * z + x * z = y * (x + z) + x * z$
Но нещо ми липсваше , затова оставих така уравнението.

Отидох на идея В. Видях, че има някакви общи признаци между $y * (x + z) + x * z$ и $(x + y) * (x + z) * (y + z)$, а именно
$y * (x + z)$ $+$ $x * z$
$(x$ $+$ $y) * (x + z)$ $*$ $(y + z)$

Затова реших, че ще преобразувам $(x + y) * (x + z) * (y + z)$ по следния начин $(x * (x + z) + y * (x + z)) * (y + z)$
А, това $x * z$, което ни се губеше го виждаме сега тук при $x * (x + z)$.
Чудесно: $(x * x$ $+$ $x * z + y * (x + z)$) $*$ $(y + z)$ $=$ $(x^2 + 11) * (y + z) = 60$

Три буквички... кофти. Тогава се сетих за идея Г и идея А.
$(x ^ 2 + 11) * (y + z) = (x^2 + 11) * (x + y + z - x) = (x^2 + 11) * (6 - x) = 60$

Тук може по различни начини да се разложи, но аз разкрих скобите.
Помолих се делителите да са цели числа и взе че стана с Хорнер.
Получи се, че $x = 1, 2, 3$.

Уравненията са циклични (не знам дали това му беше терминът), тоест ако намерим една тройка решения $(a, b, c)$, то решения са всички пермутации тройки $(a, b, c)$.
Примерно хващаме $x = 1$.
$x * y + y * z + x * z = y + z + y * z = y * (z + 1) + z = 11$
За да можем да го разложим, можем да добавим $+1$ от двете страни и ще стане:
$y * (z + 1) + z + 1 = 11 + 1 = 12$
$(y + 1) * (z + 1) = 12$
$x + y + z = 6$ или $y + z = 5$. От тук решаваме просто квадратно уравнение. В този случай: $x = 1, y = 2, z = 3$, $x = 1, y = 3, z = 2$.

Може да разгледаме другите случаи или просто да съобразим, че всичко е циклично. Решенията са: $(1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2); (3, 2, 1)$.

Надявам се на някой да му е полезен процеса на мислене : ) .

[Гост]

Система-page-001.jpg (77.48 KiB) Прегледано 194 пъти

[ammornil]

Моята логика е същата. Решенията на системата са сред корените на израза от най-висока степен. Значи задачата се свежда до това да намерим тройки решения на кубичния тричлен. Аз също използвах обратната теорема на Виет: ако $t_{i}$ са корени на многочлен от $3$-та степен то $$ \because \begin{cases} \sum{t_{i}}= A \\ \sum_{\forall{(i<j)}}{(t_{i}\cdot{t_{j}})}= B \\ \prod{t_{i}}= C \end{cases} \Rightarrow t^{3} -At^{2} +Bt -C=0$$ Както е показал колегата горе, коефициентите с големи букви могат да се изразят от даденото, а получения многочлен от трета степен се разлага на произведение. Едно произведение е нула, когато поне един от множителите му е равен на нула. Понеже нашите корени в същност са $(x, y, z)$, когато намерим три стойности за $t$, всички подредби от тези три стойности са решения на квадратния тричлен, а в случая и на системата.