Намерете целочислените решения

[ammornil]

Да се всички $(x, y) \in\mathbb{N}^{2}$ за които $\begin{array}{|l} 2x^{2}= p+1 \\[6pt] 2y^{2}= p^{2} +1 \end{array}$, където $p$ е положително, самопросто число.

[pal702004]

Имаме предвид, че 1 не е просто число.

$p$ е нечетно просто, елементарно се показва, че $x<y<p \quad (1)$

След изваждане получаваме $2(y-x)(y+x)=p(p-1)$.

Понеже $p$ е нечетно просто, то или $p \mid y-x$, или $p \mid y+x$

Първото очевидно е невъзможно, от второто следва $x+y=p$, отчитайки $(1)$

От системата

[tex]\begin{array}{|l} y+x=p \\ y-x= \dfrac{p-1}{2} \end{array}[/tex]

следва $x=\dfrac{p+1}{4}$. Тоест, $p=4x-1$

Поставяме в първото, $2x^2=4x$

Решение: $x=2,y= 5,p=7$