търсим всички реални тройки (x,y,z) на системата

[sonq1234]

търсим всички реални тройки (x,y,z) на системата.
[tex]y+2=(3-x)^{3 }[/tex]
[tex](2z-y)(y+2)=4y+9[/tex]
[tex]x^{2}+z^{2}=4x[/tex]
[tex]z\ge 0[/tex]
За кои стойности на параметъра b системата има решение.
[tex]x^{2}+2xy-7y^{2}\ge \frac{1-b}{1+b }[/tex]
[tex]3x^{2}+10xy-5y^{2}\le-2[/tex]

[martin.nikolov]

Решаваме второто спрямо z.

[tex]z=\frac12(2+(y+2)+\frac1{y+2})[/tex]

От първото заместваме и се получава

[tex]z=\frac12(2+(3-x)^3+\frac1{(3-x)^3})[/tex]

Решаваме това и третото урванение. Третото е урванение на окръжност с център (2,0) и радиус 2 в равнината Oxz. Което ознчава, че x е между 0 и 4, и z можду -2 и 2. Тъй като се търсят само неотрицателни z, значи е между 0 и 2.

Използваме, че за [tex]a>0[/tex] имаме [tex]a+\frac1a\ge 2[/tex]. Тогава когато [tex]x\in[0,3)[/tex] с [tex]a=(3-x)[/tex] имаме

[tex]z=\frac12(2+(3-x)^3+\frac1{(3-x)^3})\ge \frac12(2+2)=2[/tex]

От където следва, че тези две уравнения имат решение само когато [tex]z=2[/tex] следователно [tex]x=2[/tex].

Когато [tex]x\in(3,4][/tex] използваме, че за [tex]a<0[/tex] имаме [tex]a+\fra1a\le -2[/tex] тогава с [tex]a=(3-x)[/tex] имаме

[tex]z=\frac12(2+(3-x)^3+\frac1{(3-x)^3})\le \frac12(2-2)=0[/tex]

От тук и другото решение [tex]z=0[/tex] и [tex]x=4[/tex].

Окончателно, реалните решения (x,y,z) са (2, -1, 2) и (4, -3, 0).

Кофти написано, но ме мързи. Мисля, че идеята е ясна.

[sonq1234]

схванах идеята мерси много
а нещичко за параметричната