Система

[martin.nikolov]

Да се реши системата

[tex]\frac1x+\frac1{2y}=(x^2+3y^2)(3x^2+y^2)[/tex]
[tex]\frac1x-\frac1{2y}=2(y^4-x^4)[/tex]

[b1ck0]

Тя задачата е много хубава, само дето не мога да я реша ...
След като съберем и извадим двете уравнения почленно се получава нова система от вида:

[tex]\begin{tabular}{|l}2= \left( {x}^{4}+10\,{x}^{2}{y}^{2}+5\,{y}^{4} \right) x\\1= \left( 5\,{x}^{4}+10\,{x}^{2}{y}^{2}+{y}^{4} \right) y \end{tabular}[/tex] или по друг начин: [tex]\begin{tabular}{|l}2= \left[ \left( x^2+y^2\right)^2+4\,y^2 \left( 2\,x^2+y^2 \right)\right] x \\ 1= \left[ \left( x^2+y^2 \right)^2+4\,x^2 \left( x^2+2\,y^2 \right)\right] y \end{tabular}[/tex]

От второто уравнение можем да предположим че :
a) [tex]y= \frac{1}{\left( 5\,{x}^{4}+10\,{x}^{2}{y}^{2}+{y}^{4} \right)}[/tex]

b) [tex]\begin{tabular}{|l}\left( 5\,{x}^{4}+10\,{x}^{2}{y}^{2}+{y}^{4} \right) =1 \\y=1 \end{tabular}[/tex]
За този случай се получава:
[tex]5\,{x}^{4}+10\,{x}^{2}+1=1[/tex], което всъщност е:[tex]5\,{x}^{2} \left( {x}^{2}+2 \right) =0[/tex], откъдето излиза че:
[tex]y = 1 \,\,\,\, x=0[/tex] е решение, но в задачата [tex]x \ne 0[/tex], откъдето това вече не е валидно като решение ...

....

[ganka simeonova]

Тя задачата е много хубава, само дето не мога да я реша ...
След като съберем и извадим двете уравнения почленно се получава нова система от вида:

[tex]\begin{tabular}{|l}2= \left( {x}^{4}+10\,{x}^{2}{y}^{2}+5\,{y}^{4} \right) x\\1= \left( 5\,{x}^{4}+10\,{x}^{2}{y}^{2}+{y}^{4} \right) y \end{tabular}[/tex]

От второто уравнение можем да предположим че :
a) [tex]y= \frac{1}{\left( 5\,{x}^{4}+10\,{x}^{2}{y}^{2}+{y}^{4} \right)}[/tex]

b) [tex]\begin{tabular}{|l}\left( 5\,{x}^{4}+10\,{x}^{2}{y}^{2}+{y}^{4} \right) =1 \\y=1 \end{tabular}[/tex]
За този случай се получава:
[tex]5\,{x}^{4}+10\,{x}^{2}+1=1[/tex], което всъщност е:[tex]5\,{x}^{2} \left( {x}^{2}+2 \right) =0[/tex], откъдето излиза че:
[tex]y = 1 \,\,\,\, x=0[/tex] е решение, но в задачата [tex]x \ne 0[/tex], откъдето това вече не е валидно като решение ...

....

Не мога да разбера как се пполучава b)

[b1ck0]

[tex]1^{2} = 1[/tex] ?
Само не съм сигурен в система ли трябва да са ... или да са [tex]\cup[/tex]

[ganka simeonova]

Това не ми харесва. От къде получаваш, че у=1?

[b1ck0]

Просто проверявам дали е така ...

[ptj]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cfrac1x%2B%5Cfrac1%7B2y%7D%3D%28x%5E2%2B3y%5E2%29%283x%5E2%2By%5E2%29++%26+%5Cfrac1x-%5Cfrac1%7B2y%7D%3D2%28y%5E4-x%5E4%29

Поне според горния софтуер реалното решение е друго.

[ganka simeonova]

ptj, лимкът не ти е активен.
Аз подходих по друг начин.
Приведох левите страни под ОЗ и разделих двете у-я.
Ясно е, че х, у не са 0.
Получих хомогенно уравнение, което разделих на [tex]y^5[/tex] и положих [tex]\frac{x}{y } =a[/tex]
Така получих [tex]a^5-10a^4+10a^3-20a^2+5a-2=0[/tex]
Моята любима graph ми показа, че у-то има единствен корен, заключен в интервала (8; 10).
Сега, може и да се отплесвам, но това у-е е интересно, най- вече защото:
[tex]a(a^4+10a^2+5)=2(5a^4+10a^2+1)[/tex]
И тогава наистина а>0.
Освен това производната на [tex]a^5-10a^4+10a^3-20a^2+5a-2=0[/tex] е реципрочна функция.

[ptj]

Браво. Според програмката, която ползвах [tex]a \approx 9.13898[/tex] (има още 4 комплексни корена).
Единствената реална двойка е:
[tex]x\approx 1.12287[/tex]

[tex]y\approx 0.122865[/tex]

В тях [tex]x-y\approx 1[/tex], така че може да се провери дали равенството е точно.

П.П. Последното води до:
[tex]16 y^5+40 y^4+40 y^3+20 y^2+5 y - 1=0[/tex]

[martin.nikolov]

Интересът към темата изчезна, за това ето решение.

Събираме и изваждаме уравнениета и се получава

[tex]\frac2x=x^4+10x^2y^2+5y^4[/tex]
[tex]\frac1y=5x^4+10x^2y^2+y^4[/tex]

Умножаваме първото по х второто по у и получаваме

[tex]2=x^5+10x^3y^2+5xy^4[/tex]
[tex]1=5x^4y+10x^2y^3+y^5[/tex]

Събираме и изваждаме

[tex]3=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5[/tex]
[tex]1=x^5-5x^4y+10x^3y^2-10x^2y^3+5xy^4-y^5[/tex]

От тук

[tex]3=(x+y)^5[/tex]
[tex]1=(x-y)^5[/tex]

Вече се намират лесно решенията, включително и комплексните, ако някой иска всичките.

[b1ck0]

трябвало е да ги събера и извадя още веднъж ...