Система уравнения

[Martin Nikovski]

В задача по физика попаднах на система уравнения, която бих нарекъл "симетрична"...
Три неизвестни ([tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]z[/tex]) и три параметъра ([tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex]).
[tex]\begin{tabular}{|l}\frac{ab}{a+b } =x+\frac{yz}{y+z } \\ \frac{bc}{b+c } =y+\frac{xz}{x+z } \\ \frac{ac}{a+c } =z+\frac{xy}{x+y } \end{tabular}[/tex]
Разбира се, системата би могла да се реши със заместване, но имайки предвид нейната специфичност,
смятам, че би трябвало да има много по-рационален и красив вариант...
Благодаря предварително (ако някой може да помогне...)!

П.П. Отг.: [tex]x=\frac{ab}{a+b+c }[/tex], [tex]y=\frac{bc}{a+b+c }[/tex], [tex]z=\frac{ac}{a+b+c }[/tex]
А, да... и трябва да се реши без висша математика...

[mkmarinov]

1)[tex]\frac{ab}{a+b}=\frac{xy+yz+zx}{y+z}[/tex]
2)[tex]\frac{bc}{b+c}=\frac{xy+yz+zx}{x+z}[/tex]
3)[tex]\frac{ca}{c+a}=\frac{xy+yz+zx}{x+y}[/tex]

Вземаме реципрочните:
[tex]\frac{y+z}{xy+yz+zx}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}[/tex]
[tex]\frac{x+z}{xy+yz+zx}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/tex]
[tex]\frac{x+y}{xy+yz+zx}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}[/tex]

Вадим последните две:
[tex]\frac{z-y}{xy+yz+zx}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}[/tex]
Събираме с първото:
[tex]\frac{z}{xy+yz+zx}=\frac{1}{b}[/tex]
[tex]\frac{x}{xy+yz+zx}=\frac{1}{c}[/tex]
[tex]\frac{y}{xy+yz+zx}=\frac{1}{a}[/tex]
(аналогично)

Делим ги:
[tex]\frac{z}{x}=\frac{c}{b}[/tex]
[tex]\frac{x}{y}=\frac{a}{c}[/tex]

[tex]z=\frac{c}{b}x[/tex]
[tex]y=\frac{c}{a}x[/tex]

След като заместим в 8 ред:
[tex]\frac{cx}{\frac{c}{a}x^2+\frac{c^2}{ab}x^2+\frac{c}{b}x^2}=1[/tex]
[tex]1=\frac{1}{a}x+\frac{c}{ab}x+\frac{1}{b}x[/tex]
[tex]\frac{a+b+c}{ab}x=1[/tex]

[Martin Nikovski]

Благодаря!!! Задължен съм ти...