Общо разяснение относно системи

[Omnius]

Здравейте! Бихте ли могли да ми разясните накратко методи за решаване на системи на гимназиално ниво, в случаи, когато просто заместване води до неприятни за работа стойности.А също така и малко обща помощ относно системи - видове системи(все още не разбирам напълно какво представлява една хомогенна система, би трябвало да е съставена от уравнения със някаква сходна черта), кога е подходящо да се изваждат/умножават уравненията и с каква цел се върши и т.н.
В частност, имам система, влкючваща уравненията x+y+z = 3, xx +yy+ zz = 9 , xyz = -2 ; трябва да се намери стойността на xxxx + yyyy+ zzzz =?

[dimy93]

[tex]\begin{tabular}{|l}x+y+z=3|^2\\x^2+y^2+z^2=9\\xyz=-2\end{tabular}<=>\begin{tabular}{|l}x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=9\\x^2+y^2+z^2=9\\xyz=-2\end{tabular}<=>\begin{tabular}{|l}x+y+z=3\\xy+yz+xz=0\\xyz=-2\end{tabular}<=>\begin{tabular}{|l}y+z=3-x\\x(y+z)=-yz\\x(-yz)=2\end{tabular}\\\begin{tabular}{|l}y+z=3-x\\x(y+z)=-yz\\x^2(3-x)=2\end{tabular}<=>\begin{tabular}{|l}y+z=3-x\\x(y+z)=-yz\\x^3-3x^2+2=0\end{tabular}[/tex]

[tex]x_1 =1 \\x_{2/3}=1\pm \sqrt{3}[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}y+z=2\\yz=-2\\x=1\end{tabular}\cup \begin{tabular}{|l}y+z=2\mp\sqrt{3} \\yz=1\mp \sqrt{3} \\x=1\pm \sqrt{3} \end{tabular}[/tex]
[tex](x;y;z)=(1;1\pm\sqrt{3} ;1\mp\sqrt{3} )\cup(1\pm\sqrt{3};1;1\mp\sqrt{3} )\cup (1\pm\sqrt{3};1\mp\sqrt{3};1 )[/tex]

[mkmarinov]

[tex]81=(x^2+y^2+z^2)^2=x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)[/tex]
[tex]x^4+y^4+z^4=81-2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)[/tex] (1)

Като повдигнем първото на квадрат и извадим от него второто, получаваме [tex]xy+yz+zx=0[/tex]. Повдигаме на квадрат:
[tex]x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xy^2z+2yz^2x+2x^2yz=0[/tex], или
[tex]x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=-2xyz(x+y+z)=12[/tex]
Заместваме в (1) и получаваме
[tex]x^4+y^4+z^4=81-24=57[/tex]

Когато не се изисква да решаваш системата, обикновено е добре да не я решаваш. Гледай да запазваш симетрията.

[dimy93]

и все пак въпроса му беше за решаване на системите а тази е доста известен вид така че реших да му я напиша

[mkmarinov]

Написал си - не е напразно трудът ти .