Да се определи броят на реалните решения

[strangerforever]

Да се определи броят на реалните решения на системата:

[tex]\begin{tabular}{|l}x + y + z = 3xy\\x^2 + y^2 + z^2 = 3xz \\ x^3 + y^3 + z^3 = 3yz \end{tabular}[/tex]

[martosss]

ако събереш трите се получава, че трябва
[tex]\sum x+\sum x^2+\sum x^3=xy+yz+zx[/tex]
И сега прилагаме СА≥СГ :
x³+y²+y≥3xy
y³+z²+z≥3yz
z³+x²+x≥3zx
И като ги събереш получаваш точно исканото...
Тоест ти трябва
x³=y²=y
y³=z²=z
z³=x²=x
Оттук има две решения - или (0,0,0), или (1,1,1).

[strangerforever]

ако събереш трите се получава, че трябва
[tex]\sum x+\sum x^2+\sum x^3=xy+yz+zx[/tex]
И сега прилагаме СА≥СГ :
x³+y²+y≥3xy
y³+z²+z≥3yz
z³+x²+x≥3zx
И като ги събереш получаваш точно исканото...
Тоест ти трябва
x³=y²=y
y³=z²=z
z³=x²=x
Оттук има две решения - или (0,0,0), или (1,1,1).

AM-GM е валидно само за неотрицателни числа.

[strangerforever]

По-трудна е отколкото изглежда

[martosss]

Хах, да, наистина бая ме изпоти
Добре, имаме няколко случая:
1)ако което и да е от трите е 0 => и другите две са 0, тоест решението (0,0,0)
2)x,y,z≠0
От 2-рото уравнение имаме xz>0 => x и z са с еднакви знаци.
2.1) x,y,z>0 => горното решение +> (1,1,1) e решение.
2.2)x,y,z<0 => 3-тото равенство не е изпълнено, понеже лявата страна е <0, а дясната е >0 => нямаме решения.
2.3) x,z>0,y<0 => от (1) имаме x+z=y(3x-1)>0 => x<1/3
От друга страна имаме:
от (3) => x³+z³=y(3z-y²)>0 => 3z<y²
Сега за (2) получаваме
3z<x²+y²+z²=3xz => 3z(x-1)>0 => x>1
Получихме x<1/3, но и x>1, което е противоречие => нямаме решения в този случай

2.4) остава x,z<0,y>0. Тогава

[tex]\fbox{x+z=y(3x-1)}[/tex]
за (2) получаваме
[tex](x+z)^2+y^2=5xz\Right \fbox{y^2(9x^2-6x+2)=5xz}[/tex]
и за (3) имаме
[tex](x+z)^3-3xz(x+z)+y^3=3yz\\y^3(3x-1)^3-3xzy(3x-1)+y^3=3yz\\y^2(27x^3-27x^2+9x)=z(9x^2-3x+1)[/tex]
Сега заместваме y² с намереното по-горе в кутийката и получаваме след опростяване у-е за х:
[tex]9x^4-9x^3-3x^2+4x-1=0\\(x-1)(9x^3-3x+1)=0[/tex]
Сега х=1 е положително решение => не ни върши работа
Остава кубичното уравнение, което след 1-ва производна забелязваме, че има 1 реално отрицателно решение между -1 и 0.
сега второто уравнение е
[tex]y^2(9x^2-6x+2)=5x(3xy-(x+y)[/tex], което е квадратно относно у и трябва да се провери, че има 2 положителни корена.
След това трябва да се замести в z и да се провери, че z<0
С това получаваме
1+1+2=4 решения.

Признавам, че малко си помогнах за последния случай с уравнението от 4-та степен за х:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=9x ... 2B4x-1%3D0

А ето и отговорите...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 3D3*y*z%29

[kucheto]

Това е 5 задача от областния кръг на НОМ 2003, когато темата за 9-12 клас е била обща.

[mkmarinov]

Още един начин, не е много елегантен, но върши работа. Случаят x=y=z=0 е ясен. Сега, приемаме, че всяко от тях е различно от 0.
Полагаме [tex]x=ay, z=by[/tex], системата добива вида:
[tex]\begin{tabular}{|l}a+b+1=3ay \\ a^2+b^2+1=3ab \\ a^3+b^3+1=3\frac{b}{y}\end{tabular}[/tex]
Още повече, между множествата от решения [tex](x,y,z)[/tex] и [tex](a,y,b)[/tex] съществува биекция.
Умножавайки последното с първото и комбинирайки го с второто, получаваме симетрична система спрямо a и b:
[tex]\begin{tabular}{|l}(a+b+1)(a^3+b^3+1)=3ab \\ a^2+b^2+1=3ab \end{tabular}[/tex]
Правейки стандартните полагания [tex]a+b=u, ab=v[/tex] решаваме системата спрямо u и v. Корените са
[tex](u,v) \in (2,1) \cup (-\frac{17}{6}, \frac{65}{36})[/tex]
Решенията за a и b, които u и v носят, зависи от знака на дискриминантата на уравнението [tex]r^2-ur+v=0[/tex]. За [tex]u=2, v=1: D=0[/tex]=> носи 1 решение. За другата двойка дискриминантата е положителна и решенията са 2. Добавяйки и тривиалното решение, общият брой на наредените тройки става 4.

[Xixibg]

............................................................
[tex]\begin{tabular}{|l}(a+b+1)(a^3+b^3+1)=3ab\\ a^2+b^2+1=3ab \end{tabular}[/tex]
...............................................................................

Имаш техническа грешка на 1-вото уравнение.Трябва да е :[tex](a+b+1)(a^3+b^3+1)=9ab[/tex]
И имаш още един пропуск.Трябва да разгледаш и случаят когато [tex]y=0 ; x,z\ne 0[/tex].При него нямаме решение , но е необходимо да се обясни.

[mkmarinov]

Ne ostavai s vpechatlenieto, che sum pisal formalno reshenie .

[Xixibg]

Защо?
Този метод за решаване не е толкова лош.Аз лично съм го използвал по състезания.

[mkmarinov]

Казвах, че по-очевидните неща съм ги пропускал, а някои неща не съм проверявал дали ги преписвам правилно, не, че методът е лош.