Полиноми - докажете че полинома има нула <|1|

[elicapavlova]

Ето още една задача. Ще съм ви благодарна, ако помогнете!
Нека f(x)=[tex]a_{n}[/tex]xⁿ+[tex]a_{n-1}[/tex]x^n-1+...+[tex]a_{0}[/tex] e полином с комплексни коефициенти , [tex]a_{0}[/tex]≠0, който притежава следното свойство: съществува такова m, 0<m≤n, че [tex]\frac{a_{m}}{a_{0} }[/tex]>[tex]\frac{n}{ m}[/tex]
(i) Запишете формулите на Виет,в които участват [tex]a_{m}[/tex] и [tex]a_{0}[/tex]
(ii) Докажете,че f(x) има нула, която по абсолютна стойност е по-малка от 1.

[nevrodermit]

Задачата не е правилно поставена.
Например: [tex]f(x)=x^2+10x+4, n=2, m=1, \frac{a_m}{a_0}=\frac{10}{4}>2, x_1\approx -45.4 x_2 \approx -54.5[/tex]
Трябва да е: Нека [tex]f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0[/tex] е полином с комплексни коефициенти, [tex]a_0 \ne 0[/tex], който притежава следното свойство: съществува такова [tex]m, 0<m\le n[/tex], че [tex]|\frac{a_m}{a_0}|> {n \choose m}[/tex]. Докажете, че [tex]f(x)[/tex] има нула, която по абсолютна стойност е по-малка от [tex]1[/tex].

Доказателство:
От формулите на Виет имаме
(1) [tex]\frac{a_m}{a_n}=(-1)^{n-m}\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_{n-m}\le n}{x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_{n-m}}}[/tex]
(2) [tex]\frac{a_0}{a_n}=(-1)^nx_1x_2\ldots x_n[/tex]

Разделяме ги:
[tex]|\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots <i_m\le n}{\frac{1}{x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_m}}}|=|\frac{a_m}{a_0}|[/tex]
От неравенството на триъгълника:
[tex]\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots <i_m\le n}{|\frac{1}{x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_m}}}|} \ge |\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots <i_m\le n}{\frac{1}{x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_m}}|=|\frac{a_m}{a_0}|> {n \choose m}[/tex]
Тъй като [tex]m[/tex] числа от [tex]n[/tex] избираме по [tex]{n\choose m}[/tex] начина, то лявата страна се състои от [tex]{n \choose m}[/tex] събираеми и ако всички те са [tex]\le 1[/tex], то лявата страна е [tex]\le {n \choose m}[/tex], а дясната е [tex]>{n \choose m}[/tex], което е невъзможно, значи
[tex]\exists 1\le i_1<i_2<\ldots i_m\le n[/tex] така че [tex]|\frac{1}{x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_m}}| > 1[/tex]. Очевидно, ако всички тези корени са по абсолютна стойност по-големи или равни на 1, то лявата страна е по-малка от 1. Значи има [tex]1\le j\le m[/tex] така, че [tex]x_{i_j}< 1[/tex].