Задача за олимпиада

[Гост]

Здравейте!

Моля за помощ за решаването на следната задача:

Да се намери намери най-малкото число от вида [tex]|25^n-7^m-3^m|[/tex], където m и n са естествени числа.

Благодаря предварително!

[math10.com]

[tex]7^m\equiv 7,1(mod 24)[/tex]
[tex]3^m\equiv 3,9(mod 24)[/tex] следователно [tex]7^m+3^m \equiv 10(mod 24)[/tex]
[tex]25^n\equiv 1(mod 24)[/tex] следователно [tex]25^n-(7^m+3^m) \equiv -9(mod 24)[/tex]
Двете най-малки стойности изпълняващи [tex]25^n-(7^m+3^m) \equiv -9(mod 24)[/tex] са [tex]25^n-(7^m+3^m)=-9[/tex] и [tex]25^n-(7^m+3^m)=15[/tex]
1. Нека [tex]m=1 ; n=1 , =>|25^n-(7^m+3^m)|=|25-7-3|=15[/tex]
Остана да докажем ,че [tex]25^n-(7^m+3^m)=-9[/tex] няма решение в естествени числа.
[tex]25^n+9 \equiv 4(mod 10)[/tex]
[tex]7^m+3^m\equiv 0,2,8(mod 10)[/tex] следователно [tex]25^n+9\ne 7^m+3^m[/tex]
Следователно търсената най-малка стойност за израза [tex]|25^n-(7^m+3^m)|[/tex] е [tex]15[/tex]