Теория на числата

[Гост]

Здравейте! Може ли малко помощ за решаването на задачи 2. и 3.
В зад.2 това, което не се вижда е:
[tex]a = 2^{2^{10n + 1 } }[/tex]

[alexander_ivanov]

[tex]a=2^{2^{10n+1}}+19 = 2^{2^{10n}.2} +19 = 4^{2^{10n}} +19 = 4^{1024^n} +19 \equiv (-1)^{1024^n} +19 (mod5) \equiv 1+19 \equiv 20 \equiv 0 (mod5)[/tex]
[tex]=> 5|a; a>5 =>[/tex] a е съставно.

[tex]b=2^3.3^2.23[/tex] , лесно се вижда че 2 и 3 не делят а, следователно трябва да проверим за 23
ползваме вида на а:

[tex]a=4^{1024^n} +19[/tex]
[tex]\varphi(23)=22=>[/tex]
изчисляваме:
[tex]1024^n (mod 22)=>[/tex]
[tex]1024\equiv 12(mod22)[/tex]
и сега по индукция лесно следва [tex]1024^n \equiv 12^n \equiv 12 (mod 22)=>[/tex]
от Ойлер знаем: [tex]4^{\varphi(23)k}=4^{22k}\equiv 1 (mod 23)=>[/tex]
[tex]a=4^{1024^n} +19 \equiv 4^{1024^n(mod 22)} +19 (mod 23) \equiv 4^{12} +19 (mod 23) \equiv 2^{24} +19 \equiv 2^{24(mod22)}+19(mod23)\equiv 2^2+19 \equiv 0(mod 23)[/tex]
следователно 23 дели а следователно НОД на а и b е 23.