Теория на числата 15x^7≡13(mod19)

[Гост]

Здравейте . Бих искал да помоля за малко съдействие за решението . Благодаря предварително
Задама 1.Системана от три реда
7x≡1(mod5)
x≡2(mod7)
x≡1(mod6)
Задача 2.
15x на степен 7≡13(mod19) - само х е на степен 7

[Knowledge Greedy]

Задача 2. Повдигаме на трета степен
[tex](15x^7)^3\equiv13^3(mod19)[/tex]
Заменяме с допълващите отрицателни остатъци по [tex](mod19)[/tex].
[tex](-4)^3x^{21}\equiv(-6)^3(mod19)[/tex]
Съкращаваме на [tex](-8)[/tex]
[tex]8x^{21}\equiv27(mod19)[/tex]
По МТФ (малката теорема на Ферма) имаме [tex]x^{18}\equiv1(mod19) ,
27\equiv 8(mod19)[/tex], следователно
[tex]8x^{21}\equiv8x^3\equiv 8(mod19)[/tex], т.е. [tex]x^3\equiv 1(mod19)[/tex]
(Съкратихме спокойно два пъти на 8, т.к. 8 и модулът 19 са взаимнопрости .)
[tex]x^3-1\equiv 0(mod19)[/tex] се разпада на две сравнения [tex]x-1\equiv 0(mod19)[/tex]
и [tex]x^2+x+1\equiv 0(mod19)[/tex]
Всички решения на първото са [tex]x=19k+1[/tex], [tex]k\in N[/tex]
За второто сравнение се нуждаем от таблицата за кв. остатъци при деление на 19.
Вижда се, че [tex]x^2+x+1=19[/tex] за [tex]x[/tex]само в 7-мата и 11 колона. Това означава, че решения ще са още
и всички числа от вида [tex]x=19m+7[/tex], [tex]m\in N[/tex] ,
и всички числа от вида [tex]x=19n+11[/tex], [tex]n\in N[/tex] .
Тъй като повдигнахме на 3-та степен, а това не е еквивалентно преобразование, следва да направим проверка.