Връзка м/у корени и коеф. на полиноми .Форуми на Виет.

[TheWorst]

Отсъствах от упражнение и сега искам само да видя една задача как се решава ,то лесно по принцип,но ми трябва пример.

Да се намерят всичко ст. на пар λ ,за които корените x1,x2,x3 на полинома f(x)= x^3 -5x^2+8x+λ удовл. x1+x2=x1x2

Два начина има доколкото разбрах.Формули на Виет и другото полагаме x3=ξ примерно и става нещо от сорта на (x-ξ)(x^2+Θχ+Θ)

И още (fx) x^4-x^3+λx^2-x-6 удовлетворява x1+x2=1

[kmitov]

За уравнение от трета степен със старши коефициент 1 [tex]x^3+bx^2+cx+d=0[/tex] формулите на Виет са
[tex]x_1+x_2+x_3=-b[/tex]

[tex]x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=c[/tex]

[tex]x_1x_2x_3=-d[/tex]

Taка за първия пример [tex]x^3-5x^2+8x+\lambda=0[/tex] имаме


[tex]x_1+x_2+x_3=5[/tex]

[tex]x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=8[/tex]

[tex]x_1x_2x_3=-\lambda[/tex]


Като използваме даденото по условие равенство [tex]x_1+x_2=x_1.x_2[/tex]

и първите две формули на Виет получаваме:

[tex]x_1+x_2=5-x_3[/tex]


[tex]x_1x_2+(x_1+x_2)x_3=8[/tex]

или

[tex]5-x_3+(5-x_3)x_3=8[/tex]

или

[tex]x_3^2-4x_3+3=0[/tex]

което има корени [tex]x_3=1[/tex] и [tex]x_3=3[/tex]

Нека [tex]x_3=1[/tex]

Тогава

[tex]x_1+x_2=5-x_3=5-1=4[/tex]
[tex]x_1x_2=x_1+x_2=4[/tex]

От тази система намираме [tex]x_1=2, \ \ \ \ x_2=2[/tex]

В този случай [tex]-\lambda = x_1x_2x_3=2.2.1=4[/tex]


Нека [tex]x_3=3[/tex]

Тогава

[tex]x_1+x_2=5-x_3=5-3=2[/tex]
[tex]x_1x_2=x_1+x_2=2[/tex]

От тази система намираме комплексни корени [tex]x_1=1-i, \ \ \ \ x_2=1+i[/tex]

В този случай [tex]-\lambda = x_1x_2x_3=(1-i)(1+i)3=(1+1).3=6[/tex]

Опитай другата по същия начин.

[pal702004]

По другият начин:
[tex]x^3-5x^2+8x+\lambda \equiv (x-a)(x^2-bx+b)[/tex]
След разкриване на скобките и групиране в дясната част се получава [tex]x^3-(b+a)x^2+(b+ab)x-ab[/tex], откъдето
[tex]b+a=5\\b+ab=8[/tex]
при това[tex]\lambda=-ab[/tex]

Втората аналогично
[tex]x^4-x^3+\lambda x^2-x-6 \equiv (x^2-ax+b)(x^2-x+c)[/tex]
след разкриване в дясно се получава
[tex]x^4-(a+1)x^3+(c+b+a)x^2-(ac+b)x+bc[/tex]

[TheWorst]

Мерси много ! Задачките са много прости,ами става тежко после като отсъстваш )

[TheWorst]

Интересно ми е когато трябва да удовлетворява x1^2 + x2^2 = x3^2 какво се прави с полагането обаче на някакво известно и заместване от χ^2+(b/a)x+ c/a=0