Торема на Уилсън - приложения

[ptj]

Интересува ме, дали директно от Теоремата на Уилсън може да се докаже съществуването на безброй много прости числа. По-точно съществува ли някакъв стандартен начин за решаване или доказване броя решения на сравнение от вида:

[tex](p-1)!\equiv -1 \pmod {p}[/tex]

Благодаря!

[ptj]

А ако добавя, че горното има директна връзка с хипотезата за безброймногото двойки прости близнаци...

[Гост]

Попаднах на горното във връзка с една задача: Ако [tex]x^{p-1}[/tex] е полином във Zp[x], то ако p е просто имаме ( подобно на малката теорема на Ферма), че порядъка на всеки ненулев елемент е точно p-1 т.е. [tex]x^{p-1}[/tex]=1 в Zp.
Тогава полинома g(x)=[tex]x^{p-1}[/tex]-1 има нули всичките елементи на U(p)={1,2,3,...,p-1} т.е. разлага се на
[tex]x^{p}[/tex]-1=(x-1)(x-1)...(x-(p-1)) . Но тогава g(0)=-1=(p-1)!mod p. Така ли се доказва теоремата на Уилсон?

[Гост]

Всъщност порядъка на всеки елемент e делител на p-1 от което следва нататък същото