Сума от коефициентите с четни степени пред x

[Гост]

[tex](x^6+x+1)^2015+(x^6+x-1)^2015[/tex]

[Гост]

Степента е 2015, извинявам се за грешката.

[Гост]

https://proofwiki.org/wiki/Sum_of_Even_ ... efficients Пробвай с Биномната.

[Гост]

За нея се сетих но не знам как да я приложа в този случей.

[Knowledge Greedy]

[tex](x^6+x+1)^{2015}+(x^6+x-1)^{2015}[/tex]

Сума от коефициентите с четни степени на [tex]x[/tex] - това ще е сумата на коефициентите пред едночлените подобни на [tex]x^{6k}[/tex].
Ако положим [tex]x^6+x=z[/tex], търсената сума ще се получи от двата бинома [tex](z+1)^{2015}[/tex] и [tex](z-1)^{2015}[/tex].
[tex]2\sum_{k=0}^{2015 }{2015 \choose 2k}=2^{2015}[/tex]

[grav]

Ако имаш полином [tex]p(x)[/tex] и означиш сумата от коефициентите пред четните и нечетните степени съответно с [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], тогава ако заместиш с 1 в полинома ще получиш сумата от всички коефициенти т.е. [tex]a+b=p(1)[/tex]. Подобно получаваш и [tex]a-b=p(-1)[/tex].

[Гост]

Благодаря момчета.