Въпрос свързан с Полиноми.

[asen12]

Привет , като за начало искам да се извиня , ако мястото на темата не е това , но тук ми се стори най-удачно да я сложа.Имам няколко въпроса свързани с полиномите , най-вероятно ще ви се сторят глупави , но все пак ще съм ви безкрайно задължен ако ми помогнете да си изясня нещата , понеже за момента не съм на "ти" с тази дисциплина.
Въпроси(ще дам и някой пример за да ми стане по-ясно):
****************************************************************************************************************************************************
1). Разложете на неразложими множители полинома:
[tex]x^2+1[/tex] над Z5
----------------------------------
Какво ще рече това да се разложи на неразложими множители ? - Знам как се разлага полином , но на неразложими и идея си нямам и това над Z5 ... нищо не ми говори.
Какво се има в предвид като се каже над: Z5 , Q , ?
****************************************************************************************************************************************************
2)Намерете стойностите на параметрите а,b и с , за който :
полиномът: [tex]p(x)=x^5+10ax^3+5bx+c[/tex] имат трикратен корен
---------------------------------
Какво ще рече това: трикратен корен ?
Как се процедира при тази ситуация ?
1) Разлагама полинома
2) Замествам в него
3) Изразявам а,b и c , едно от друго.
За тези трите стъпки не съм сигурен ,че съм на прав път , по-скоро далеч от истината.
****************************************************************************************************************************************************
Общо взето това са нещата за който се сещам да питам сега .Основните действия с полиноми знам как се правят (или поне така си мисля ) , но не успявам да си разтълкувам условията на задачите и естествено удрям на камък.
пс: Доста неща понаучих от тук:http://stancho.roncho.net/HighMath/Polinoms/Polynomes.html , но не и тези дето питам за тях.
Още веднъж Благодаря .

[martin123456]

1
ами чувал ли си за пръстен? означава да се разложи с коефициенти 0, 1, 2, 3 и 4
например: [tex]x^2+1=(x+2)(x+3)[/tex], понеже [tex](x+2)(x+3)=x^2+5x+6 \equiv x^2+1 (mod 5)[/tex]

[martin123456]

2
за да бъде [tex]\alpha[/tex] трикратен корен трябва [tex]p(\alpha)=p'(\alpha)=p''(\alpha)=0[/tex] и [tex]p'''(\alpha) \ne 0[/tex]
[tex]p'(x)=5x^4+30ax^2+5b[/tex]
[tex]p''(x)=20x^3+60ax[/tex]
[tex]p'''(x)=60x^2+60a[/tex]
от последното [tex]x(x^2+3a)=0[/tex]
значи едната възможност е [tex]\alpha=0[/tex]=>като заместим в [tex]p(\alpha)=0[/tex]=>[tex]c=0[/tex]=> като заместим в [tex]p'''(\alpha) \ne 0[/tex]=>[tex]a \ne 0[/tex]=>като заместим в [tex]p'(\alpha)=0[/tex]=>[tex]b=0[/tex].
другата възможност е [tex]\alpha=\pm sqrt{-3a}[/tex]. имаме [tex]\alpha^2=-3a[/tex]. заместваме в [tex]p'(\alpha)=0[/tex]=>[tex]-45a^2+5b=0[/tex]=>[tex]b=9a^2[/tex]. заместваме в [tex]p(\alpha)=0[/tex]=>[tex]9a^2\alpha-30a^2\alpha+45a^2\alpha+c=0[/tex]=>[tex]24a^2\alpha=-c[/tex] някакви такива

[asen12]

ОК ясно , сега горе долу навлязох в нещата разбрах за какво става дума.
Само едно не ми стана ясно : Какво ще рече това над Q ?

[martin123456]

над [tex]\mathbb{Q}[/tex] e над рационалните числа, т.е. коефициенти от множеството на рационалните числа

[asen12]

Чета го и мисля ,че успявам да вникна в него.Почвам да решавам и ... греда , нищо не разбирам.
Ето един пример:
Намерете НОД (над Q) на полиномите:
[tex]p(x) = x^6-7x^4+8x^3-7x+7[/tex] и [tex]g(x)=3x^5-7x^3+3x^2-7[/tex]

Знам ,че ще стана много нагъл вече , ако помоля за пълното решение на задачката(все пак си имаш свой задължения) , но ще помоля само за списък от стъпките през който трябва да мина.Пример:
1. Правиш това
2.Това
3.т.н.
Много ти благодаря за вниманието което ми отдели.

[martin123456]

Няма проблем. Да те питам нямаш ли учебник по висша алгебра - там са обяснени всички неща. И ти студент ли си?
[tex]\mathbb{Q}[/tex] е поле, а [tex]p,g \in \mathbb{Q}[x][/tex]. Значи двата полинома имат НОД (теорема).
Използваме алгоритъма на Евклид:
а) разделяме с частно и остатък двата полинома
[tex]x^6-7x^4+8x^3-7x+7:3x^5-7x^3+3x^2-7=\frac{1}{3}x+\ldots[/tex]
[tex]x^6-7x^4+8x^3-7x+7-x^6+\frac{7}{3}x^4-x^3+\frac{7}{3}x=-7x^4+8x^3-7x+7+\frac{7}{3}x^4-x^3+\frac{7}{3}x=[/tex][tex]-\frac{14}{3}x^4+7x^3-\frac{14}{3}x+7=r_1(x)[/tex]. значи [tex]p(x)=\frac{1}{3}xg(x)+r_1(x)[/tex]
b) разделяме с частно и остатък [tex]g, r_1[/tex]:
[tex]3x^5-7x^3+3x^2-7:-\frac{14}{3}x^4+7x^3-\frac{14}{3}x+7=-\frac{9}{14}x+\ldots[/tex]
[tex]3x^5-7x^3+3x^2-7-3x^5+\frac{9}{2}x^4-3x^2+\frac{9}{2}x=\frac{9}{2}x^4-7x^3+\frac{9}{2}x-7=r_2(x)[/tex]
c) разделяме с частно и остатък [tex]r_1, r_2[/tex]
[tex]-\frac{14}{3}x^4+7x^3-\frac{14}{3}x+7:\frac{9}{2}x^4-7x^3+\frac{9}{2}x-7=-\frac{28}{27}+\ldots[/tex]
[tex]-\frac{14}{3}x^4+7x^3-\frac{14}{3}x+7+\frac{14}{3}x^4-\frac{7.28}{27}x^3+\frac{14}{3}x-\frac{7.28}{27}=7x^3(1-\frac{28}{27})+7(1-\frac{28}{27})=-\frac{7}{27}x^3-\frac{7}{27}=r_3(x)[/tex]
d) разделяме с частно и остатък [tex]r_2, r_3[/tex]
........... и тн докато получиш [tex]r_n=0[/tex] за някое [tex]n[/tex]. тогава [tex]r_{n-1}[/tex] е НОД