Доказателство

[Гост]

Да се докаже, че за всяко естествено число n: [tex]45^{2}[/tex] дели [tex]82^{х+1}[/tex]+(45n-82)[tex]127^{n}[/tex]
Решението се прави с индукция.

[Davids]

A $x$ какво се явява? Или трябва да е $n$?

[Гост]

Не е x, а е n моя грешка

[Davids]

Наистина невероятна задача, трябва да призная! Просто ми хареса, имаше от онези ключови сещания, носещи удовлетворение, в доста голямо количество Започвам:
Изразя ще положа на $А = 82^{n+1} + (45n - 82)127^n$
По ПМИ имаме първо да проверим, дали делимостта е изпълнена за $n = 1$. Проверяваме:
$A = 82^2 + (45 - 82).127 = 6724 - 4699 = 2025 = 45^2$ и делимостта е изпълнена.
Допускаме за всяко $n = k$, че $45^2 \mid 82^{k + 1} + (45k - 82)127^k$, и остава да докажем, че делимостта също важи и за всяко $n = k + 1$.
Изразяваме $A$ при $n = k + 1$ и целта е да достигнем до многочлен, всички едночлени на който имат по един делим на $45^2$ множител (съответно тoй ще e или вида на $A$ от израза на допускането, или естествено число, кратно на $45^2$). Заемаме се:
При $n = k+1$
$\Rightarrow A = 82^{k + 2} + [45(k + 1) - 82]127^{k + 1} =$
$= 82.82^{k + 1} + 127(45 + 45k - 82)127^k =$
$= 82^{k + 1} + 81.82^{k + 1} + 127.45.127^k + 127(45k - 82)127^k =$
$= 82^{k + 1} + 81.82^{k + 1} + 127.45.127^k + (45k - 82)127^k + 126(45k - 82)127^k =$
$= 82^{k + 1} + (45k - 82)127^k + \bigg( 81.82^{k+1} + 127.45.127^k + 126(45k - 82)127^k \bigg)$

Както вече се вижда, извън скобите остана израза $A$ при $n = k$, за който казахме, че допускаме, че се дели на $45^2$. Следователно остава да докажем, че израза в скобите също се дели на $45^2$:
$81.82^{k+1} + 127.45.127^k + 126(45k - 82)127^k =$
$= 81.82^{k + 1} + \big[ 45.127 + 126(45k - 82) \big]127^k =$
$= 81.82^{k + 1} + \big( 126.45k - 126.82 + 45.127 \big)127^k =$
Излизаме замалко извън израза, пресмятаме набързо $- 126.82 + 45.127 = -4617 = -81.57$ и се връщаме:
$= 81.82^{k + 1} + \big( 126.45k - 81.57 \big)127^k =$
$= 81.82^{k + 1} + \big( 81.45k - 81.57 + 45.45k \big)127^k =$
$= 81.82^{k + 1} + 81\big( 45k - 57 \big)127^k + 45^2.127^k =$
И сега остана да съобразим последния интересен и готин факт за тази задача - че $57 = 82 - 25$. Сега ще видиш защо е важно
$= 81.82^{k + 1} + 81\big( 45k - 82 + 25 \big)127^k + 45^2.127^k =$
$= 81.82^{k + 1} + 81\big( 45k - 82 \big)127^k + 81.25.127^k + 45^2.127^k =$
И тъй като $81.25 = 9.5.9.5 = 45^2$, то получаваме:
$= 81.82^{k + 1} + 81\big( 45k - 82 \big)127^k + 2.45^2.127^k =$
$= 81\big[ 82^{k + 1} + ( 45k - 82 )127^k\big] + 2.45^2.127^k$
Лявото събираемо съдържа отново израза за $A$ при $n = k$, а дясната част просто си се дели аритметично на $45^2$, с което и целия израз се дели на $45^2$. Окончателно можем да обявим, че за $n = k + 1$
$\Rightarrow A = 82^{k + 1} + (45k - 82)127^k + 81\big[ 82^{k + 1} + (45k - 82)127^k \big] + 2.45^2.127^k =$
$= 82\big[ 82^{k + 1} + (45k - 82)127^k \big] + 2.45^2.127^k$
което е точно многочленът, за който говорихме в началото, и с което завършваме доказателството на делимостта по ПМИ.

[pal702004]

Мда, все пак сме в теория на числата, да се възползваме.
1. Делимост на $81$

$82^{n+1}\equiv 1 \pmod{81}$

$45n-82 \equiv 45n-1 \pmod{81}$

$127^n=(126+1)^n \equiv 126n+1 \pmod {81} \equiv 45n+1 \pmod{81}$

$1+(45n-1)(45n+1) \equiv 1+45^2\cdot n^2-1 \equiv 0 \pmod{81}$

2. Делимост на $25$

$82^{n+1}=(80+2)^{n+1}\equiv (n+1)\cdot 80 \cdot 2^n+2^{n+1}\equiv 2^n(80n+82) \pmod{25}$

$127^n\equiv 2^n \pmod {25}$

$\cdots \equiv 2^n(80n+82+45n-82)\equiv 0 \pmod{25}$

[Davids]

Мда, все пак сме в теория на числата, да се възползваме.
1. Делимост на $81$

$82^{n+1}\equiv 1 \pmod{81}$

$45n-82 \equiv 45n-1 \pmod{81}$

$127^n=(126+1)^n \equiv 126n+1 \pmod {81} \equiv 45n+1 \pmod{81}$

$1+(45n-1)(45n+1) \equiv 1+45^2\cdot n^2-1 \equiv 0 \pmod{81}$

2. Делимост на $25$

$82^{n+1}=(80+2)^{n+1}\equiv (n+1)\cdot 80 \cdot 2^n+2^{n+1}\equiv 2^n(80n+82) \pmod{25}$

$127^n\equiv 2^n \pmod {25}$

$\cdots \equiv 2^n(80n+82+45n-82)\equiv 0 \pmod{25}$

Ау, колко мощно оръжие било делението по модул... А защо вече към края на 11. клас още не се е споменало в учебника, се чудя

[Mario]

Здравейте ще може ли някой да ми помогне с тази задача .Да се намери остатъка от делението на числото 2^2012 с числото 9

[Genie_Almo]

Ако си запознат със сравненията по модул е лесно.

$ 2^6 \equiv 1 (mod$ $9) \Rightarrow
(2^6)^{335} \equiv 1^{335} (mod$ $9)
\Rightarrow 2^{2010} \equiv 1 (mod$ $9)

\Rightarrow 2^{2012} \equiv 2^2 (mod$ $9)$

Което означава, че търсеният остатък е 4.

[Kre4etalo]

Друго решение се основава на наблюдението [tex]82+45=127[/tex]. Разписваме [tex]127^n[/tex] по формулата за Нютоновия бином и забравяме за събираемите след второто нататък (всички съдържат като множител [tex]45[/tex] на степен поне [tex]2[/tex]). Това, което остава, е тривиално.

Задачата е от домашно във ФМИ. На всеки студент се дават различни числа, но това е общото във всички задачи.