Делимост и теория на числата

[Parasyte]

Може ли поомощ със задачите от първата колонка

[Гост]

Решение на задача 4. Отг. [tex]A \equiv 7 (mod\; 13)[/tex].
Функцията на Ойлер [tex]\varphi(13)=13-1=12.[/tex]
Следователно, [tex]2^{12}\equiv 1 (mod\; 13)[/tex] и [tex]3^{12}\equiv 1 (mod\; 13)[/tex],
[tex]2^{74}=2^{6.12+2}=(2^{12})^6. 2^2\equiv 1.4=4 (mod\; 13)[/tex] ,
[tex]3^{73}=3^{6.12+1}=(3^{12})^6. 3\equiv 1.3=3 (mod\; 13)[/tex] ,
Ето защо,
[tex]2^{74}+3^{73}\equiv 4+3 = 7 (mod\; 13)[/tex] ,

Решение на задача 5 а.
Пробваме с [tex]x=0;1;2;3;4[/tex]. Отг. [tex]x=4 (mod\; 5)[/tex]

Решение на задача 5 б. Няма решение.
Допускаме, че има решение --- цяло число x.
Значи за някое цяло число [tex]k[/tex] е в сила [tex]12x=9+18k[/tex]
Тук отляво е четно, а от дясно е нечетно. Противоречие.


Решение на задача 6 в.

Първи начин. Отговорът се записва с формула
[tex]x\equiv 3.7.2.\Big(\frac{1}{7.2}\Big)_{(mod\; 5)}+1.5.2.\Big(\frac{1}{5.2}\Big)_{(mod\; 7)}+0.5.7.\Big(\frac{1}{5.7}\Big)_{(mod\; 2)} (mod\; 7.5.2)[/tex]
където чрез [tex]\Big(\frac{1}{a}\Big)_{(mod\; m)}[/tex] е означено число [tex]b[/tex] такова, че [tex]a.b\equiv 1 (mod\; m)[/tex].

Решава се
[tex]1\equiv 7.2.b_1\equiv (-1)b_1 (mod\; 5)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]b_1\equiv (-1) (mod\; 5)[/tex]. Избирам [tex]b_1=-1[/tex].
[tex]1\equiv 5.2.b_2\equiv 3.b_2 (mod\; 7)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]b_2\equiv (-2) (mod\; 7)[/tex]. Избирам [tex]b_2=-2[/tex].

Значи, [tex]x\equiv 3.7.2.b_1+1.5.2.b_2+0 \equiv 42.(-1)+10.(-2) \equiv (-62) \equiv 8 (mod\; 7.5.2)[/tex].
Отг. [tex]x\equiv 8 (mod\; 70)[/tex].

Втори начин. Подреждаме и използваме модулите в намаляващ ред: 7,5,2.
В този ред се номерират и решават последователно сравненията.
Образува се аритметична прогресия с начало 1(дясната страна на сравнението по модул 7) и разлика 7
[tex]1,8,15,22,\dots[/tex]
и спираме на първото число, което удовлетворява второто сравнение [tex]x\equiv 3 (mod\; 5)[/tex]. Тук, това е [tex]8[/tex].
Сега се образува аритметична прогресия с начало 8 и разлика 5.7=35
[tex]8, 43, 78, \dots[/tex]
и спираме на първото число, което удовлетворява третото сравнение [tex]x\equiv 0 (mod\; 2)[/tex]. Тук, това е [tex]8[/tex].

Отг. [tex]x\equiv 8 (mod 70)[/tex].