Теория на числата и нули на полиноми

[Гост]

Нека [tex]f(z)=az^{4}+bz^{3}+cz^{2}+dz+e=a(z-z_{1 })(z-z_{2 })(z-z_{3 })(z-z_{4 })[/tex], където [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]d[/tex], [tex]e[/tex] са цели числа и [tex]a\ne 0[/tex]. Да се докаже, че ако [tex]z_{1 }+z_{2 }[/tex] е рационално число и [tex]z_{1 }+z_{2 }\ne z_{3 }+z_{4 }[/tex], то [tex]z_{1 }z_{2 }[/tex] е рационално число.

[Kre4etalo]

Да означим с [tex](i)[/tex] - [tex]i[/tex]-тата формула на Виет за полинома. Виждаме, че - $(1)\Rightarrow$ [tex]z_3+z_4\in\mathbb{Q}[/tex]. Да означим $t_1=z_1z_2, \ t_2=z_3z_4$ От $(2)\Rightarrow$ $t_1+(z_1+z_2)(z_3+z_4)+t_2\in\mathbb{Q}$. Така $t_1+t_2\in \mathbb{Q} \ (*)$. $(3)\Rightarrow$ $t_1(z_3+z_4)+t_2(z_1+z_2)\in\mathbb{Q}\ (**)$. Така $(*)$ и $(**)$ представляват две линейни уравнения за $t_1,t_2$ с рационални десни части и рационални коефициенти (в първото са $(1,1)$, във второто $(z_3+z_4,z_1+z_2)$). Освен това уравненията са различни (казано по друг начин детерминантата на матрицата от коефициентите е ненулева), понеже $z_1+z_2\ne z_3+z_4$. Следователно линейната система от тези две уравнения има единствена двойка решения, и понеже коефициентите са рационални числа, то двойката се състои от рационални числа. Оттук стигаме до $t_1=z_1z_2\in\mathbb{Q}$.