Да се докаже, че е съставно

[asdf]

Здравейте отново,
имам проблем със следната задача:
Да се докаже, че ако p и 8p-1 са едновременно прости, то 8p+1 e съставно.

[Станислав]

mod 3...

[asdf]

Аха, тенкс.
Значи от 8p-1 е просто => [tex]8p-1 \equiv 1 (mod 3)[/tex] или [tex]8p-1 \equiv 2(mod 3)[/tex] (ако се дели точно, то 8p-1?3 за всяко просто p и => 8p-1 ще се дели на 3 и няма как да е просто). От последните [tex]8p \equiv 2(mod 3) \Leftrightarrow 4p \equiv 1(mod 3) \equiv 4(mod3) \Rightarrow p \equiv 1(mod3)[/tex]. От последното обаче следва, че [tex]8p+1 \equiv 8+1 \equiv 9(mod 3) \Rightarrow 8p+1 \equiv 0(mod 3)[/tex]. Последното обаче е различно от 3 за всяко просто p и => 8p+1 се дели на 3 и е различно от 3 => 8p+1 е съставно. Така ок ли е? Че май никъде не ползвам съществено, че и p е просто? A иначе как реши да разгледаме точно по модул 3? Просто пробваме?

[Станислав]

Как съм избрал 3?
1) Достатъчно малко е
2) Просто е
3) Нечетно е
4) Самата комбинация ти подсказва
5) Има логика да разгледаме някой модул
Ползваш, че p е просто в случая, който не разгледа [tex]8p-1\equiv 2(mod 3)\Rightarrow 3|8p\Rightarrow 3|p\Rightarrow p=3[/tex] и директна проверка.

[llssll]

Извинявам се за отклонението,но искам да попитам следното:ако имаме 2 двойки числа с едно и също произведение как се доказва ,че по-отдалечените едно от друго имат по-голям сбор

[Станислав]

Нека [tex]ab=mn[/tex]. Представяш [tex]a=a_{1}-t,b=a_{1}+t; m=m_{1}-s,n=m_{1}+s[/tex], където [tex]a_{1}=\frac{a+b}{2}, m_{1}=\frac{m+n}{2}[/tex]. Тогава, [tex]ab=mn\Leftrightarrow a_{1}^2-t^2=m^2_{1}-s^2[/tex]. Сега, ако [tex]t>s[/tex], то [tex]a_{1}>m_{1}\Rightarrow a+b>m+n[/tex], откъдето и следва твърдението.

[llssll]

Благодаря на Станислав и желая успех на всички,които на 12 юни ще ходят на състезанието на сп."Математика"