Подредете числа на голяма степен по големина

[Гост]

Без да използвате калкулатор, подредете по големина числата [tex]5^{56},10^{51},17^{35},31^{28}[/tex].

[Knowledge Greedy]

[tex]5^{56}=25^{28}[/tex] - сравняваме веднага с последното от условието.

[tex]10^{51}=2^{51}.5^{51}[/tex] и леко сравняваме с първото от списъка в условието.

Ако третото [tex]17^{35}[/tex] намалим до [tex]16^{35}=2^{140}[/tex] , а четвъртото [tex]31^{28}[/tex] увеличим до [tex]32^{28}=(2^5)^{28}=2^{140}[/tex], ясно е кое е по-голямо! Третото или четвъртото?

Останаха второто и третото. Второто ( [tex]10^{51}[/tex] ) намаляваме до [tex]9^{51}[/tex], но въпреки това то е по-голямо от уголеменото до [tex]18^{35}[/tex] трето число [tex]17^{35}[/tex].

Отговор - в намаляващ ред: второто, третото, четвъртото, първото.

[Sup3rlum]

За втората двойка:

$17^{35}=(17^5)^7$
$31^{28}=(31^4)^7$

Т.е. сравняването им е равносилно на сравняването на $17^5$ и $31^4$

$17^5 > 16^5 = 2^{20}$

$31^4 < 32^4=2^{20} < 17^5$

$\Rightarrow 31^{28} < 17^{35}$

$31^{28} > 25^{28}=5^{56}$

$\Rightarrow 5^{56} < 31^{28} < 17^{35}$

$17^{35} < 18^{35} = 2^{35}3^{70}$

$10^{51} > 9^{51}=3^{102}$

Тук със сигурност има по-добър метод, но аз първо предположих следното:

$ln(2^{35})=35ln2$, където $ln(2) \approx 0.7 \Rightarrow ln(2^{35}) \approx 24$

$ln(3^{32})=32ln(3)$, където $ln(3) > 1 \Rightarrow 32ln(3) > 32 > ln(2^{35})$, и след като $ln(x)$ е монотонно растяща, $\Rightarrow 3^{32} > 2^{35} \Rightarrow 10^{51} > 17^{35}$

$\Rightarrow 5^{56} < 31^{28} < 17^{35} < 10^{51}$

[Гост]

rrttzt.PNG (5.13 KiB) Прегледано 1134 пъти

[tex]5^{56}=25^{28}<31^{28}<\underbrace{32^{28}=16^{35}}_{\text (2\cdot 16)^{28}=(2^{4})^{7}\cdot 16^{28}}<\underbrace{17^{35}<27^{34}}_{\text 35<34\cdot \log_{17}27}=3^{102}=9^{51}<10^{51}[/tex]