Задача

[Гост]

Да се намери броят на всички седемцифрени числа, записани с различни цифри и делящи се на 3.

[vezni]

Едно число се дели на 3, когато сумата от неговите цифри се дели на 3.
[tex]0+1+2+\dots+9=45[/tex]
1 случай. 0 не е сред цифрите на 7-цифреното число.
Тогава сумата от неговите цифри е [tex]45-(a+b)[/tex], където [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са другите две цифри (освен [tex]0[/tex]), които не са използвани. Значи $3\mid a+b$.
Вариантите за ненаредени двойки от цифри $(a,b)$, за които $3\mid a + b$, са [tex]12[/tex]. Броят се чрез ... изписване.
Останалите 7 цифри са различни от нула и с тях може да се образуват [tex]7![/tex] числа. Значи в този случай имаме [tex]12.7![/tex] числа.
2 случай. [tex]0[/tex] участва в 7-цифреното число.
Сега сумата от цифрите му е [tex]45-(a+b+c)[/tex], където [tex]a, b[/tex] и [tex]c[/tex] са трите ненулеви цифри, които не са използвани за записа на числото.
Следва, че [tex]3\mid a + b + c[/tex].
Има [tex]30[/tex] ненаредени тройки от цифри [tex](a,b,c)[/tex], при които [tex]3\mid a + b +c[/tex]. Това пак се преброява чрез изписване.
Със [tex]7[/tex] цифри, една от които е [tex]0[/tex], се образуват [tex]6.6![/tex] 7-цифрени числа. Значи в този случай имаме [tex]30.6.6![/tex] числа.
Събираме двата случая и получаваме общо [tex]12.7!+30.6.6!=264.6!=190080[/tex] числа.
Честно казано, това с броенето не е много елегантно. Предполагам, че може да се помисли нещо по-приятно.