частични суми на биномни коеф-ти

[matematko]

ще описвам с думи щото с писачката на формули не мога да се оправя.
Сумата на (n над 2) в интервала п=[p*(p-1) ,p^2] e равно на сумата на (n над 2) в интервала п=[p^р+1 ,p^2+р-1] .Tова е равенство за частичните суми на бин.коеф (n над к) при к=2 .Така го смятам аз.
интересува ме случая к=4.
За к=3 си я намерих сам и то малко експериментално.
мерси предварително.дано някой да помогне.

[martin123456]

какво имаш предвид [tex]\sum_{n=p(p-1)}^{p^2}{n \choose 2} = \sum_{n=p^2+1}^{p^2+p-1}{n \choose 2}[/tex] ли?

[matematko]

какво имаш предвид [tex]\sum_{n=p(p-1)}^{p^2}{n \choose 2} = \sum_{n=p^2+1}^{p^2+p-1}{n \choose 2}[/tex] ли?

да точно така.тожа са трите формулки за к=1,к=2 и к=3
http://www.prikachi.com/images.php?images/183/2248183Z.gif

като в последната А (n-4) e zразликата на двете суми за n=n-4.Пример за к=3:
3 35 35 0
4 645 650 5
5 4620 4641 21
6 20839 20895 56
7 71050 71170 120
8 200430 200655 225
9 492765 493150 385
10 1091090 1091706 616
11 2224629 2225565 936
12 4242875 4244240 1365


пърwата колона е за n=3,4..
Втората и третата колона са двете суми .четвъртата е разликата им.
например за да намерим каква е разликата на двете суми за n=9.
385=(2*(8-1) над 3 )+(разликата на 2-те суми за n=8-4) toest
385=364 + 21.

та въпроса е за к=4

4 126 126 0
5 4116 4200 84
6 44562 45150 588
7 278712 281016 2304
8 1248876 1255626 6750
9 4462002 4478502 16500
10 13518582 13554156 35574
11 36111768 36181656 69888
12 87323418 87451182 127764
13 194764752 194985252 220500
14 406245378 406608378 363000
15 800805648 801380112 574464
16 1504113624 1504992762 879138



само да добавя че за к=4 двете суми са в интержалите:
първата сума:(n-1)^2-(n+1) до (n-1)^2-1

и

втората сума(n-1)^2 до (n-1)^2+(n-4)

[martin123456]

[tex]\sum_{n=p(p-1)}^{p^2}{n \choose 2} = \sum_{n=p^2+1}^{p^2+p-1}{n \choose 2}[/tex]
имаме [tex]{n \choose 2}=\frac{n^2-n}{2}=\frac{1}{2}(n^2-n)[/tex] и значи
лява страна е: [tex]\frac{1}{2}[\sum_{n=p^2-p}^{p^2}n^2-\sum_{n=p^2-p}^{p^2}n]=\frac{1}{2}[\sum_{n=1}^{p^2}n^2-\sum_{n=1}^{p^2-p-1}n^2-\sum_{n=1}^{p^2}n+\sum_{n=1}^{p^2-p-1}n][/tex]
сега използваме известните формули [tex]\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n.(n+1).(2n+1)}{6}[/tex] и [tex]\sum_{i=1}^{n}i=\frac{i(i+1)}{2}[/tex].
като заместим получаваме 2*лява страна = [tex]\frac{p^2(p^2+1)(2p^2+1)}{6}-\frac{(p^2-p-1)(p^2-p)(2p^2-2p+1)}{6}-\frac{p^2(p^2+1)}{2}+\frac{(p^2-p-1)(p^2-p)}{2}[/tex]. смяташ го колко е това.
аналогично се намира и дясна страна.

[matematko]

[tex]\sum_{n=p(p-1)}^{p^2}{n \choose 2} = \sum_{n=p^2+1}^{p^2+p-1}{n \choose 2}[/tex]
имаме [tex]{n \choose 2}=\frac{n^2-n}{2}=\frac{1}{2}(n^2-n)[/tex] и значи
лява страна е: [tex]\frac{1}{2}[\sum_{n=p^2-p}^{p^2}n^2-\sum_{n=p^2-p}^{p^2}n]=\frac{1}{2}[\sum_{n=1}^{p^2}n^2-\sum_{n=1}^{p^2-p-1}n^2-\sum_{n=1}^{p^2}n+\sum_{n=1}^{p^2-p-1}n][/tex]
сега използваме известните формули [tex]\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n.(n+1).(2n+1)}{6}[/tex] и [tex]\sum_{i=1}^{n}i=\frac{i(i+1)}{2}[/tex].
като заместим получаваме 2*лява страна = [tex]\frac{p^2(p^2+1)(2p^2+1)}{6}-\frac{(p^2-p-1)(p^2-p)(2p^2-2p+1)}{6}-\frac{p^2(p^2+1)}{2}+\frac{(p^2-p-1)(p^2-p)}{2}[/tex]. смяташ го колко е това.
аналогично се намира и дясна страна.

колега не си ме разбрал правилино.
интересуwа ме как да пресметна разликата на дwете суми за к=4.
за к=1 и к=2 разликата на двете суми е нула.
за к=3 си намерих формулата , само дето съм я сбъркал малко като сум я
писал.биномниа коеф след втората сума е 2*(n-2) naд 3 , a ne kakto sym napisal 2*(n-1) naд 3.

[xyz]

По принцип сумите от вида: [tex]\sum_{i=u}^x {i \choose k}[/tex], където u и k са някакви константи, а x е целочислена променлива по-голяма от u са си просто полиноми на x. Причината е, че самото [tex]{i \choose k}[/tex] е полином на i от степен k, а сумирането на такива полиноми отново е полином.
Мога да ти покажа, как се изчисляват тези полиноми, ако все още се интересуваш от темата. Така в твоите изследвания ще получиш еднакви полиноми отляво и отдясно, а ако не са еднакви, то ще знаеш разликата им като конкретен полином. Дали той ще има добро представяне с биномни коефиценти - ще трябва да провериш и да опиташ да нагодиш.
Всъщност мога да ти покажа, ако се сетя в следващите дни да вляза във форума, че напоследък съвсем рядко влизам в този форум (защото като гледам в разделите които са ми интересни на мен са си останали само моите мнения от преди много време).

[ptj]

ще описвам с думи щото с писачката на формули не мога да се оправя.
Сумата на (n над 2) в интервала п=[p*(p-1) ,p^2] e равно на сумата на (n над 2) в интервала п=[p^р+1 ,p^2+р-1] .Tова е равенство за частичните суми на бин.коеф (n над к) при к=2 .Така го смятам аз.
интересува ме случая к=4.
За к=3 си я намерих сам и то малко експериментално.
мерси предварително.дано някой да помогне.

Разпиши си триъгълника на Паскал и там ще намериш всичко, което те интересува. По-принцип отговора ще е разлика на 2 биномни коефициента от различна степен и различен ред.

[matematko]

ще описвам с думи щото с писачката на формули не мога да се оправя.
Сумата на (n над 2) в интервала п=[p*(p-1) ,p^2] e равно на сумата на (n над 2) в интервала п=[p^р+1 ,p^2+р-1] .Tова е равенство за частичните суми на бин.коеф (n над к) при к=2 .Така го смятам аз.
интересува ме случая к=4.
За к=3 си я намерих сам и то малко експериментално.
мерси предварително.дано някой да помогне.

Разпиши си триъгълника на Паскал и там ще намериш всичко, което те интересува. По-принцип отговора ще е разлика на 2 биномни коефициента от различна степен и различен ред.

абе аз го разписвам тоя триъгълник трети месец ама...
айде драсни го ти заради мене , щото аз не стигам до никъде!
или направо напиши равенството!

[matematko]

По принцип сумите от вида: [tex]\sum_{i=u}^x {i \choose k}[/tex], където u и k са някакви константи, а x е целочислена променлива по-голяма от u са си просто полиноми на x. Причината е, че самото [tex]{i \choose k}[/tex] е полином на i от степен k, а сумирането на такива полиноми отново е полином.
Мога да ти покажа, как се изчисляват тези полиноми, ако все още се интересуваш от темата. Така в твоите изследвания ще получиш еднакви полиноми отляво и отдясно, а ако не са еднакви, то ще знаеш разликата им като конкретен полином. Дали той ще има добро представяне с биномни коефиценти - ще трябва да провериш и да опиташ да нагодиш.
Всъщност мога да ти покажа, ако се сетя в следващите дни да вляза във форума, че напоследък съвсем рядко влизам в този форум (защото като гледам в разделите които са ми интересни на мен са си останали само моите мнения от преди много време).

Всъщност от това което е за случая n над 3 , разликата е равна на сумата на един бином + разликата от сумата на биномитеза n=n-4.тоест, малко рекурeнтно равнство се пада.Ако означим разлката на двете суми от бин коеф D(n), равенството е от вида D(n)=(2*(n-1) над 3) + D(n-4)
трябва ми точно в такава форма.ще се радвам да ми помогнеш.

[matematko]

сега малко дообяснения.за бином n над k , при к=1
вижда се че 1 над 1+ 2 над 1 = 3 над 1
4 над 1 + 5 над 1 + 6 над 1= 7 над 1 + 8 над 1
9 над 1 + 10 над 1 + 11 над 1 + 12 над 1 + 13 над 1 = 14 над 1 + 15 над 1 + 16 над 1
.......................
за бином n над k , при к=2 имаме 2 над 2 +3 над 2 + 4 над 2= 5 над 2
6 над 2 + 7 над 2 + 8 над 2 = 9 над 2 + 10 над 2
12 над 2 +13 над 2 +14 над 2 +15 над 2=16 над 2 +17 над 2 +18 над 2
.......
та задачката не съм си я изсмукал от пръстите ами просто забелязах тази закономерност и реших да посмятам.за к=3 съм я намерил формулата, дадена по-горе в линка.Обаче за n над 4 става сложно поне за мене.

[ptj]

...
абе аз го разписвам тоя триъгълник трети месец ама...
айде драсни го ти заради мене , щото аз не стигам до никъде!
или направо напиши равенството!

Да, не е просто. На втория ред са през 1, на третия още по сложно...

[Станислав]

ptj, досега не си написал нищо вярно в постовете си, но се усеща заядливост в тях... Как постигаш този тъй желан ефект?

[ptj]

ptj, досега не си написал нищо вярно в постовете си, но се усеща заядливост в тях... Как постигаш този тъй желан ефект?

Имам голям опит. Искаш да ти тегля една майна ли?

[matematko]

...
абе аз го разписвам тоя триъгълник трети месец ама...
айде драсни го ти заради мене , щото аз не стигам до никъде!
или направо напиши равенството!

Да, не е просто. На втория ред са през 1, на третия още по сложно...

"умнико" вместо да "философстваш" излишно
просто напиши равенството.а ако не ти е ясно
за кво иде реч си трай.

[Станислав]

ptj, досега не си написал нищо вярно в постовете си, но се усеща заядливост в тях... Как постигаш този тъй желан ефект?

Имам голям опит. Искаш да ти тегля една майна ли?

Хаха, и чувството ти за хумор не отстъпва по-назад Иначе за опита - не се и съмнявам, то ти личи.