линейни-рекурентни редици

[nadia]

имам нужда отново от вашата помощ
става въпрос за линейни рекурентни редици.Няма зададено конкретно търсено.

[tex]a_{1 }[/tex]=1 [tex]a_{2 }[/tex]=2


[tex]a_{n+1 }=5a_{n }-4 a_{n-1} +3[/tex]

[Станислав]

Правиш си характеристичното уравнение и намираш вида на общия член?

[martin123456]

предполагам да се намери общия член.
едно дълго решение е :
[tex]a_{n+1 }=5a_{n }-4 a_{n-1} +3[/tex]
[tex]a_{n }=5a_{n -1}-4 a_{n-2} +3[/tex]
вадим ги
[tex]a_{n+1}-a_n=5(a_n-a_{n-1})-4(a_{n-1}-a_{n-2})[/tex]
полагаме [tex]b_n=a_{n+1}-a_n[/tex], [tex]b_1=1[/tex], [tex]b_2=a_3-a_2=5a_2-4a_1+3-2=10-4+1=7[/tex]
[tex]b_n=5b_{n-1}-4b_{n-2}[/tex]
характеристично у-ние [tex]x^2-5x+4=0[/tex], [tex]x_1=1[/tex], [tex]x_2=4[/tex]
=>[tex]b_n=a+4^nb[/tex]
заместваме [tex]n=1,2[/tex]=>[tex]1=a+4b[/tex], [tex]7=a+16b[/tex]=>[tex]6=12b[/tex]=>[tex]b=\frac{1}{2}[/tex]=>[tex]a=-1[/tex]=>[tex]b_n=-1+2^{2n-1}[/tex]=>[tex]a_{n+1}=a_n+2^{2n-1}-1[/tex]. сега пускаме едно събиране по [tex]n=1,2,\ldots[/tex]:
[tex]a_2=a_1+2-1[/tex]
[tex]a_3=a_2+2^3-1[/tex]
[tex]a_4=a_3+2^5-1[/tex]
.............
[tex]a_{n+1}=a_n+2^{2n-1}-1[/tex]
сумираме => [tex]a_{n+1}=a_1+2+2^3+2^5+\ldots+2^{2n-1}-n=1+\frac{2^{2n+1}-2}{3}-n=\frac{2^{2n+1}+1}{3}-n[/tex]

[nadia]

как правиш характеристичното уравнение?

[martin.nikolov]

Вече са я решили задачата, и за такива задачи има общ метод. В конкретния случай може и без да се знае как се намира общия член на линейна рекурентна редица.

Рекурентната връзка може да се запише така(като умножиш се вижда, че е същото)

[tex]a_{n+1}-a_n+1=4(a_n-a_{n-1}+1)[/tex]

Полагаме [tex]b_n=a_{n+1}-a_n+1[/tex] тогава горното е [tex]b_n=4b_{n-1}[/tex] и [tex]b_1=a_2-a_1+1=2[/tex]. С други думи имаме геометрична прогресия.

След като е геометрична прогресия с първи член 2 и частно 4, може да и пресметнем сумата т.е. [tex]b_1+b_2+\cdots +b_n[/tex] може да се пресметне явно.

От друга страна

[tex]b_1+b_2+\cdots +b_n=(a_2-a_1+1)+(a_3-a_2+1)+(a_4-a_3+1)\cdots +(a_{n+1}-a_n+1)[/tex]

Като се прегрупира се вижда, че много неща се унищожават и дясната стране е

[tex]a_{n+1}-a_1+(1+1+\cdots +1)[/tex]

И от тук може да се намери [tex]a_{n+1}[/tex], така може да се реше само със стандартна училищна математика.

[mkmarinov]

[tex]a_{n+1}-5a_n+4a_{n-1}=3[/tex]
[tex]a_{n+1}-5a_n+4a_{n-1}=1^n.3n^0[/tex]
При рекурентна връзка от вида:
[tex]m_1a_{n}+m_2a_{n-1}+...+m_ka_{n-k}=x_1^np_1(n)+x_2^np_2(n)+...+x_l^np_l(n)[/tex]
Характеристичното уравнение се образува по следния начин:
[tex](m_1r^k+m_2r^{k-1}+...+m_k)(r-x_1)^{deg(p_1)+1}...(r-x_l)^{deg(p_l)+1}=0[/tex]
Където deg(pn) е степен на полином.
В този случай характеристичното уравнение е:
[tex](r^2-5r+4)(r-1)=0[/tex]
[tex](r-1)^2(r-4)=0[/tex]
=>
[tex]a_n=c_1.1^n+c_2.n.1^n+c_3.4^n[/tex]