Задачи терория на числата

[Vannia_35]

Написани са последователно една след друга 2021+0 цифри. Всяко двуцифрено число, образувано от две съседни цифри се дели на 23 или на 17.Последните цифри на единицата 1 . Да се напишат последните 10 цифри и да се намери първата цифра.

[turtlefox]

[tex]D_{17} = \{17n: 17n \leq 100, n \in \mathbb{N}\} = \{17, 34, 51, 68, 85\} \\
D_{23} = \{23n: 23n \leq 100, n \in \mathbb{N}\} = \{23, 46, 69, 92\}[/tex]
[tex]N = \{d_1, d_2, d_3, ..., d_{2021}\}, d_i \in \{0, 1, 2, ..., 9\}[/tex] знаем [tex]d_{2021} = 1[/tex]
За [tex]1 \leq i \lt 2021[/tex] и [tex]X = 10d_i + d_{i+1}[/tex]: [tex]17 | X[/tex] или [tex]23 | X[/tex], т.е. [tex]\forall X \in D_{17} \cup D_{23}[/tex]
От [tex]d_{2021} = 1 \implies d_{2020} = 5[/tex], защото [tex]51 \in D_{17}[/tex]
от [tex]d_{2020} = 5 \implies d_{2019} = 8[/tex], защото [tex]85 \in D_{17}[/tex]
продължава със същата логика...
по този начин, след като се генерират последните 7 цифри, се стига до цикъл от цифрите [tex]23469[/tex]
за сега за числото ни знаем, че има следната форма [tex]...23469234692346851[/tex]
За първата цифра заем, че ще бъде от множеството [tex]\{2, 3, 4, 6, 9\}[/tex] тъй като цикъла е нетерминиращ се.
По модул 5 (дължината на цикъла) виждаме: [tex]2021-7\equiv2014\equiv4\mod 5[/tex]
първите 4 цифри от числото ни ще са последните 4 на цикъла, т.е. [tex]3469[/tex]
[tex]\implies[/tex] числото ни е [tex]3469...23469234692346851[/tex]
Последните 10 цифри са [tex]4692346851[/tex] и първата е [tex]3[/tex].