Задачи по Висша математика

[Гост]

[tex]\alpha[/tex]=5
[tex]\beta[/tex]=3
[tex]\gamma[/tex]=8
Благодаря!

[ammornil]

$\boxed{\quad 1 \quad} \\[6pt] \begin{array}{l} f(x)= x^{4} +x^{3} +x^{2} -2x -6 \\ g(x)= x^{3} +6x^{2} +8x +15 \end{array} \\[12pt] f(x)=0$ няма рационални корени. (виж скрития текст най-долу)$\\[12pt] g(x)= (x+5)(x^{2}+x+3)\\[6pt] $Проверяваме дали $f(x)$ се дели на $x^{2}+x+3 \\[12pt] \begin{array}{crrrrrrrr} &&&&&&&x^{2}&-2\\ \hline &x^{4}&+x^{3}&+x^{2}&-2x&-6&\div&x^{2}&+x&+3& \\ -&x^{4}&+x^{3}&+3x^{2} \\ \hline &&&-2x^{2}&-2x&-6 \\ &-&&-2x^{2}&-2x&-6 \\ \hline &&&&&0 \end{array} \\[6pt] \Rightarrow f(x)=(x^{2}-2)(x^{2}+x+3)$ $$\boxed{ \quad \begin{array}{l} f(x)=(x^{2}-2)(x^{2}+x+3) \\ g(x)= (x+5)(x^{2}+x+3) \end{array} \Rightarrow d(x)= x^{2}+x+3 \quad } $$ $\\[12pt] u(x)\cdot{f(x)} +v(x)\cdot{g(x)}= d(x) \\[6pt] u(x)=c, \quad v(x)=ax +b \\[6pt] c(x^{4} +x^{3} +x^{2} -2x -6) +(ax+b)(x^{3} +6x^{2} +8x +15)= x^{2}+x+3 \\[12pt] \red{cx^{4}} \orange{+cx^{3}} \green{+cx^{2}} \blue{-2cx} -6c \red{+ax^{4}} \orange{+6ax^{3}}\green{+8ax^{2}} \blue{+15ax} \orange{+bx^{3}} \green{+6bx^{2}} \blue{+8bx} +15b= x^{2}+x+3 \\[6pt] \red{(c+a)x^{4}} \orange{+(c +6a +b)x^{3}} \green{+(c +8a +6b)x^{2}} \blue{+(-2c +15a +8b)x} +(-6c+15b)= \red{0x^{4}} \orange{+0x^{3}} \green{+x^{2}} \blue{+x} +3 \\[6pt] \quad \begin{array}{|l} c+a=0 \\ c+6a+b=0 \\ c+8a+6b=1 \\ -2c+15a +8b=1 \\ -6c+15b=3 |\div{3} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} c=-a \\ -a+6a+b=0 \\ -a+8a+6b=1 \\ -2(-a)+15a +8b=1 \\ -2(-a)+5b=1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} c=-a \\ b=-5a \\ 7a+6(-5a)=1 \\ 17a +8(-5a)=1 \\ 2a+5(-5a)=1 \end{array} \\[6pt] \quad \Leftrightarrow \begin{array}{|l} c=-a \\ b=-5a \\ -23a=1 \\ -23a=1 \\ -23a=1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} c=\dfrac{1}{23} \\[6pt] b=-\dfrac{5}{23} \\[6pt] a=-\dfrac{1}{23} \end{array} \\[12pt]$ $$ \boxed{ \quad u(x)= \dfrac{1}{23}, \quad v(x)=-\dfrac{1}{23}x -\dfrac{5}{23} \quad } $$ $\\[12pt]\quad$ Проверете за изчислителни грешки. $\\[24pt]$

Скрит текст: покажи

$\\[6pt]\quad$Решетка на Хорнер с потенциалните рационални корени на $f(x)=0\\[6pt]$

Screenshot 2025-04-26 134333.png (25.33 KiB) Прегледано 110 пъти

$\\[6pt]\quad$Решетка на Хорнер с потенциалните рационални корени на $g(x)=0\\[6pt]$

Screenshot 2025-04-26 135333.png (11.29 KiB) Прегледано 110 пъти

$\\[12pt]\quad$Предлагам Ви и едно решение как да си направите решетка на Хорнер в МС Ексел $\\[6pt]$

Screenshot 2025-04-26 134604.png (22.84 KiB) Прегледано 110 пъти

[ammornil]

$\boxed{ \quad 2 \quad }\\[6pt]f(x)= x^{8} +8x^{7} -24x^{5} -6x^{4} +24x^{3} +8x^{2} -8x -3\\[12pt]\quad$ Задачата може да се реши по два начина: (1) чрез проверка в решетка на Хорнер; (2) чрез делене на полиноми. В случая, първият метод е по-удобен.$\\[12pt] \begin{array}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline \alpha &+1&+8&0&-24&-6&+24&+8&-8&-3&V \\[2pt] \hline 1&1&9&9&-15&-21&3&11&3&0&\text{"e корен"} \\[2pt] \hline 1&1&10&19&4&-17&-14&-3&0&&\text{"e корен"} \\[2pt] \hline 1&1&11&30&34&17&3&0&&&\text{"e корен"}\\[2pt] \hline 1&1&12&42&76&93&96&&&&\text{"не e корен"} \\[2pt] \hline \end{array}\\[12pt] \quad \alpha= 1$ е трикратен корен и $f(x)= (x-1)^{3}\cdot{(x^{5} +11x^{4} +30x^{3} +34x^{2} +17x +3)}$

[ammornil]

$\boxed{ \quad 3 \quad } \\[6pt] x^{4} +4x^{3} +9x^{2} +20x +\lambda= 0 \\[6pt] \lambda=?: \rightarrow \exists{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})} \rightarrow x_{1}\cdot{x_{2}}= x_{3}\cdot{x_{4}} \\[24pt]\quad$ Съгласно формули на Виет: $\\[6pt] \begin{array}{|l} x_{1}\cdot{x_{2}}\cdot{x_{3}}\cdot{x_{4}}= \lambda \\[6pt] x_{1}\cdot{x_{2}}\cdot{x_{3}} +x_{1}\cdot{x_{2}}\cdot{x_{4}} +x_{1}\cdot{x_{3}}\cdot{x_{4}} +x_{2}\cdot{x_{3}}\cdot{x_{4}} =-20 \\[6pt] x_{1}\cdot{x_{2}} +x_{1}\cdot{x_{3}} +x_{1}\cdot{x_{4}} +x_{2}\cdot{x_{3}} +x_{2}\cdot{x_{4}} +x_{3}\cdot{x_{4}}= 9 \\[6pt] x_{1} +x_{2} +x_{3} +x_{4}= -4 \end{array} \\[12pt] x_{1}\cdot{x_{2}}= x_{3}\cdot{x_{4}}= t \\[6pt] x_{1}\cdot{x_{2}}\cdot{x_{3}}\cdot{x_{4}} = \lambda= t^{2} \\[6pt] x_{1}\cdot{x_{2}}(x_{3}+x_{4}) +x_{3}\cdot{x_{4}}(x_{1}+x_{2})= t(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}) =-20 \Rightarrow -4t= -20 \Rightarrow t=5\\[12pt] \lambda= t^{2}= 25 $

[ammornil]

$\boxed{ \quad 4.1 \quad }\\[6pt] f(x)=x^{5} -3x^{4} +5x^{3} -15x^{2} +9x -27\\[6pt]\quad$Съгласно Хорнер, ако съществуват рационални корени, то те са сред делителите на свободния член или сред частните на тези делители със старшия коефициент: $27 \rightarrow \pm{1}, \pm{3}, \pm{9}, \pm{27}\\[6pt]$

Скрит текст: покажи

Screenshot 2025-04-26 230912.png (15.53 KiB) Прегледано 94 пъти

$\\[6pt]\quad$Проверка в решетка на Хорнер, показва че $x=3$ е единствен рационален корен на този многочлен (виж сктития текст).$\\[6pt] \begin{array}{|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline x&1&-3&5&-15&9&-27&V \\[2pt] \hline 3&1&0&5&0&9&0&\text{ОК} \\[2pt] \hline \end{array} \Rightarrow f(x)=(x-3)(1x^{4} +0x^{3} +5x^{2} +0x +9) $ $$ \boxed{ \quad f(x)=(x-3)(x^{4} +5x^{2} +9) \quad } $$

[ammornil]

$\boxed{ \quad 4.2 \quad }\\[6pt] f(x)=x^{4} -4x^{3} +x^{2} -24x +5\\[6pt]\quad$Съгласно Хорнер, ако съществуват рационални корени, то те са сред делителите на свободния член или сред частните на тези делители със старшия коефициент: $5 \rightarrow \pm{1}, \pm{5}\\[6pt]$

Скрит текст: покажи

Screenshot 2025-04-26 231434.png (10.32 KiB) Прегледано 94 пъти

$\\[6pt]\quad$Проверка в решетка на Хорнер, показва че полученият многочлен няма рационални корени (виж скрития текст). $$ \boxed{ \quad f(x)=x^{4} -4x^{3} +x^{2} -24x +5 \quad } $$