Дистанция между двойки прости числа

[Lab]

Здравейте,
Докато си играех с прости числа ми направи впечатление следното свойство на двойките прости числа (тези които са през 1)
След 5-7 всяко разстояние между последователни двойки се дели винаги на 6.
Предполагам има някакво просто обяснение но нещо ми убягва...

Някой дали може да го обясни?

ето и примерни данни
p1 p2 mid distance
11 13 12 6
17 19 18 6
29 31 30 12
41 43 42 12
59 61 60 18
71 73 72 12
101 103 102 30
107 109 108 6
137 139 138 30
149 151 150 12
179 181 180 30
191 193 192 12
197 199 198 6
227 229 228 30
239 241 240 12
269 271 270 30
281 283 282 12
311 313 312 30
347 349 348 36
419 421 420 72
431 433 432 12
461 463 462 30
521 523 522 60
569 571 570 48
599 601 600 30
617 619 618 18

Поздрави!

[ammornil]

Всички самопрости числа след $3$ могат да се запишат във вида $p=6\cdot{k}+1$ или $6k-1, \quad k\in\mathbb{N}$.
Ако дефинираме двойки като $[6k-1; 6k+1]$ където краищата на интервала трябва да са самопрости то разликата между началата на два съседни интервала (ако съществуват) ще е равна на разликата от краищата и ще е винаги $6$ и средата ще е винаги $6k \\[12pt] \begin{array}{crrrrr} k & p_{1}=6k-1 & p_{2}=6k+1 & mean = 6k & \Delta_{1}=6 & \Delta_{2}=6 \\ 1 & 5 & 7 & 6 & n.a. & n.a. \\ 2 & 11 & 13 & 12 & 6 & 6 \\ 3 & 17 & 19 & 18 & 6 & 6 \\ 4 & 23 & n.a. & n.a. & 6 & n.a.\\ 5 & 29 & 31 & 30 & 6 & n.a. \\ 6 & n.a. & 37 & n.a. & n.a. & 6 \\ 7 & 41 & 43 & 42 & n.a. & 6 \\ 8 & 47 & n.a. & n.a. & 6 & n.a. \\ 9 & 53 & n.a. & n.a. & 6 & n.a. \\ 10 & 59 & 61 & 60 & 6 & n.a. \\ \cdots \end{array}$

Във вашия пример, всеки интервал е от вида $[6k-1$;$6k+1]$ или $[6k-1;6(k+1)-1]$ или $[6k-1,6(k+1)+1]$, $k\in\mathbb{N}$

Във вашия пример липсва $23, 37$ и други.

[Lab]

23 не е в двойка прости числа (21 и 25 не са прости) за 37 (35 и 39 не са прости)
Разликата кратна на 6 е валидна само за двойките прости. За останлите не важи по подразбиране
Въпроса е защо 6? Предполагам идва от 2*3, но не мога да го формулирам. 2 е ясно - четно число е (6.к-1) + (6к-1), а защо винаги се дели и на 3?
Разстоянията между двойките прости се увеличава но кратността си остава ...

[ammornil]

23 не е в двойка прости числа (21 и 25 не са прости) за 37 (35 и 39 не са прости)
Разликата кратна на 6 е валидна само за двойките прости. За останлите не важи по подразбиране
Въпроса е защо 6? Предполагам идва от 2*3, но не мога да го формулирам. 2 е ясно - четно число е (6.к-1) + (6к-1), а защо винаги се дели и на 3?
Разстоянията между двойките прости се увеличава но кратността си остава ...

Обясних Ви защо. Вие избирате двойки самопрости числа които са през 2 едно от друго, което прави двойката от вида $(6k-1, 6k+1)$. Нека $m$ и $n, (m<n)$ са такива естествени числа, които произвеждат две съседни двойки от описания вид. Тогава първото число от първата двойка е $6m-1$, а първото число то втората двойка е $6n-1$, което прави раликата им $$ 6n-1 -(6m-1)= 6(n-m)$$, което винаги се дели на $6$.