Задача от редица на Фибоначи

[ammornil]

Съществуват ли измежду първите сто милиона и един члена на редицата на Фибоначи, такива които завършват на четири нули?$\\[6pt]$

Скрит текст: покажи

Редица на Фибоначи започва с числата 1 и 1, и всеки следващ член е сборът на предходните два. $$ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \dots, F_{k-2}, F_{k-1}, F_{k}, \dots \\[6pt] \hspace{12em} F_{k}= F_{k-1} +F_{k-2}, \quad k\in\mathbb{N}, k\geq{3} $$

[Гост]

Пример се конструира лесно чрез следните 2 леми:
Лема 1: Нека [tex]F_{n }[/tex] е n-тия член на редицата на Фибоначи. Тогава [tex]v_{5 }[/tex]([tex]F_{n }[/tex])=[tex]v_{5 }[/tex](n). Припомняме, че с [tex]v_{p }[/tex](n) за просто p означаваме максималната степен на p, деляща n.
Лема 2: [tex]F_{a}[/tex] дели [tex]F_{b }[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] а дели b.
(Двете леми с доказателства, както и по-общи леми, свързани с [tex]v_{p }[/tex] и рекурентни редици, може да намерите в статията на Павел Кожевников в "Квант" 8 брой, 2022)
Сега остава да забележим, че [tex]F_{12 }[/tex]=144, което се дели на 16 и като фиксираме n=625*12, получаваме, че [tex]F_{n }[/tex] се дели на 625 и 16 едновременно т.е. и на 10000.

[Гост]

Фибоначи.jpg (168.78 KiB) Прегледано 9 пъти