Задача от сравнение

[gvv]

Да се реши сравнението :
8x^{17}\equiv 5mod(23)

[ptj]

[tex]8x^{17}\equiv 5\pmod {23}[/tex]
Знаем, че [tex]x^{22}\equiv 1 \pmod {23}[/tex].
Нека [tex]x^5\equiv k\pmod {23}[/tex],
тогава [tex]8x^{17}.x^5\equiv 8 \pmod {23}[/tex]
или [tex]5k\equiv 8 \pmod {23}[/tex]

Понеже НОД(5;23)=1, то редицата [tex]5t[/tex] [tex](t\in N)[/tex] има период 23 по модул 23.
[tex]100\equiv 8 \pmod {23}[/tex] => [tex](23t+20).5\equiv 8 \pmod {23}[/tex] =>
=> [tex]x^5\equiv k\equiv 20 \pmod {23}[/tex]

[tex]5^5\equiv 20 \pmod {23}[/tex], тогава решението е [tex]x\equiv 5\pmod {23}[/tex]

[gvv]

Много Ви благодаря за помощта!