Делимост на цели числа. Прости числа - задачи

[toddler]

Здравейте.
Бихте ли ми помогнали с решението на тези задачи ? Прекарах доста време в опити да стигна поне до някъде, но безуспешно.

1. Да се намери двуцифреното число, на което завършва числото m = [tex]7^{7^{7^{7}}}[/tex] .

2.Дадени са числата а = [tex]2^{2^{4n+1}}[/tex] + 7 и b = 2673, където n е естествено число.
а) Да се док., че числото а е съставно.
б) Да се намери НОД на числата a и b.

3. Да се намерят всички прости числа p, за които числото q = [tex]\frac{7^{p}+ 13}{ p}[/tex] е цяло число.

[toddler]

Честно да ви кажа, все още нямам никакъв напредък , а трябва да разбера как се решават този тип задачи ..
Моля, ако някой има понятие да даде едно рамо

[dgs]

Да се пробвам по първата задача:

Първото, което забелязваме, е че:
[tex]7^{4k+m} mod 100 = 7^{m} mod 100[/tex], защото [tex]7^{4} = 49.49 = 2401[/tex]
т.е. [tex]7^{N} mod 100 = 7^{Nmod4} mod 100[/tex]

Второто, което забелязваме (всъщност знаем го като "признак за делене на 4" още от 5-ти клас), е че:
[tex]N mod 4 = (N mod 100) mod 4[/tex]

Третото, което забелязваме е, че:
[tex]7^{7} mod 100 = 7^{4+3} mod 100 = 7^{3} mod 100 = 343 mod 100 = 43 = 10.4 + 3[/tex]

Четвъртото, което забелязваме (следва от първото и второто), е че:
[tex]7^{7^{7^{7}}} mod 100 = 7^{(7^{7^{7}} mod 100)} mod 100 = 7^{(7^{(7^{7}mod100)} mod 100)} mod 100 =[/tex]

(и сега прилагаме третото, няколко пъти в комбинация с второто)

[tex]= 7^{(7^{(10.4 + 3)} mod 100)} mod 100 = 7^{(7^{3} mod 100)} mod 100 =[/tex]

[tex]= 7^{(10.4 + 3)} mod 100 = 7^{3} mod 100 = 43[/tex]


ДОБАВКА:
Така както съм го написанал дотук, вероятно не е много ясно.
Трябваше след "първото" и "второто" да добавя нещо такова:
[tex]7^{N} mod 100 = 7^{Nmod4} mod 100 = 7^{(Nmod100)mod4} mod 100[/tex]

[1089]

7^p==7(modp) =>p/20=>p=2 ili 5

[veronika]

Мога ли да попитам дали някой може да реши тази задача, защото на мен са ми ужасно неприятни и не ме бива с тях :
Върху окръжност са записани 100 числа, които удовлетворяват условието: всяко число, увеличено с 1, е равно на сбора на двете си съседни. Намерете тези числа.

[niai]

Мога ли да попитам дали някой може да реши тази задача, защото на мен са ми ужасно неприятни и не ме бива с тях :
Върху окръжност са записани 100 числа, които удовлетворяват условието: всяко число, увеличено с 1, е равно на сбора на двете си съседни. Намерете тези числа.

То това няма много общо с делимост, не знам като какво се води... 100-те числа са единици. За всяко число, 1 + 1 = 2, и съседните му са 1 и 1, сбор също 2.