Кандидат-студентски задачи

[dimy93]

Задача 27(Тригонометрия): Докажете :[tex]{\Sigma}^n_{i = 0}cos(\alpha + i\beta )*{\Sigma}^n_{i = 0}sin(\alpha + i\beta )=\frac{sin^2{\frac{(n+1)\beta }{2 } }sin(2\alpha + n\beta )}{ 2sin^2{\frac{\beta }{ 2} }}[/tex] (5т.)

[prodanov]

Да не си объркал раздела, кога се учат тия неща?

[dimy93]

Любопитната наистина не е много подходяща за тук но пък е от кандидат студенски изпит май
А за тригонометрията - тя е по-проста аз повечето задачи които съм поствал наскоро и логично е едва 5т и е абсолютно от училищен материал
Ако не вярваш пиши ЛС да ти постна решение

[BTK Strangler]

Задача 27(Тригонометрия): Докажете :[tex]{\Sigma}^n_{i = 0}cos(\alpha + i\beta )*{\Sigma}^n_{i = 0}sin(\alpha + i\beta )=\frac{sin^2{\frac{(n+1)\beta }{2 } }sin(2\alpha + n\beta )}{ 2sin^2{\frac{\beta }{ 2} }}[/tex] (5т.)

я пак? може ли с думички, защото наистина в даскало не съм ги срещал тия символики

[dimy93]

това е по кратък начин да се напише :
[tex](cos(\alpha )+cos(\alpha + \beta )+cos(\alpha +2\beta )+...+cos(\alpha + n\beta ))(sin(\alpha )+sin(\alpha + \beta )+sin(\alpha +2\beta )+...+sin(\alpha + n\beta ))=[/tex]след равното трябва да го разбирате

[dimy93]

Бързи 3т :
Задача 28:[tex]\sqrt{log_x\sqrt{5x}}*log_5x=-1[/tex]

[strangerforever]

Бързи 3т :
Задача 28:[tex]\sqrt{log_x\sqrt{5x}}*log_5x=-1[/tex]

[tex]DM: x \in (0;\frac{1}{5}] \cup (1;\infty)[/tex] (нужни ли са подробности тук?)

[tex]\sqrt{log_x\sqrt{5} + log_x\sqrt{x}}.log_5x = -1[/tex]

[tex]\sqrt{\frac{log_x\sqrt{5}}{2} + log_x\sqrt{x}}.log_5x = -1[/tex]

[tex]log_x5 = t \Rightarrow log_5x = \frac{1}{t}[/tex]

[tex]\sqrt{\frac{t}{2} + \frac{1}{2}}.\frac{1}{t} = -1[/tex]

[tex]-\frac{1}{t}.\sqrt{\frac{t}{2} + \frac{1}{2}} = 1[/tex]

При [tex]t < 0[/tex] - на квадрат

[tex]\frac{t + 1}{2t^2} = 1[/tex]
[tex]2t^2 - t - 1 = 0[/tex]
[tex]t_1 = -\frac{1}{2} = log_x5 \Rightarrow x = \frac{1}{25}[/tex]
[tex]t_2 = 1 \notin DM[/tex]

Тригонометрията е 10-класна, бтв.

Edit: Печатна грешка, забравил съм да напиша петицата Тригонометрията е лесна, да.

[dimy93]

Първо върху сегашната-виж си крайният отговор-как може да се спънеш на последното изпитание
А иначе тригонометрията е лесна както казах -чакам решения на нея

[Mr.G{}{}Fy]

Първо върху сегашната-виж си крайният отговор-как може да се спънеш на последното изпитание
А иначе тригонометрията е лесна както казах -чакам решения на нея

Дано някой да я реши,че ми е интересно решението

[dimy93]

Ако не аз ще го напиша-тука няма празно
а за любопитната tautochrone ми каза ,че "му напомняло на някаква формула" и съдейки по това съм сигурен ,че ще я реши

[Mr.G{}{}Fy]

Ако не аз ще го напиша-тука няма празно
а за любопитната tautochrone ми каза ,че "му напомняло на някаква формула" и съдейки по това съм сигурен ,че ще я реши

Тази Любопитната ми е много странна А относно тригонометрията след малко ще се опитам да измисля нещо,но се съмнявам,че ще успея

[strangerforever]

Задача 27(Тригонометрия): Докажете :[tex]{\Sigma}^n_{i = 0}cos(\alpha + i\beta )*{\Sigma}^n_{i = 0}sin(\alpha + i\beta )=\frac{sin^2{\frac{(n+1)\beta }{2 } }sin(2\alpha + n\beta )}{ 2sin^2{\frac{\beta }{ 2} }}[/tex] (5т.)

Нека [tex]A = sin\alpha + sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha + 2\beta) + ... + sin(\alpha + n.\beta)[/tex]
и
[tex]B = cos\alpha + cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha + 2\beta) + ... + cos(\alpha + n.\beta)[/tex]

където [tex]n \in N[/tex]

[tex]A = sin\alpha + sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha + 2\beta) + ... + sin(\alpha + n.\beta)[/tex]

[tex]A.{sin}\frac{\beta}{2} = (sin\alpha + sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha + 2\beta) + ... + sin(\alpha + n.\beta)).{sin}\frac{\beta}{2}[/tex]

[tex]A.{sin}\frac{\beta}{2} = \frac{1}{2}.(cos(\alpha - \frac{\beta}{2}) - cos(\alpha + \frac{\beta}{2} ) + cos(\alpha + \frac{\beta}{2}) - cos(\alpha + \frac{3\beta}{2}) + cos(\alpha + \frac{3\beta}{2}) - cos(\alpha + \frac{5\beta}{2}) +[/tex]

[tex]...[/tex]

[tex]+ cos(\alpha + \frac{2n - 1}{2}.\beta) - cos(\alpha + \frac{2n + 1}{2}.\beta))[/tex]

Всичко се унищожава без първото и последното.

[tex]2A.{sin}\frac{\beta}{2} = cos(\alpha - \frac{\beta}{2}) - cos(\alpha + \frac{2n + 1}{2}.\beta)[/tex]

[tex]2A.{sin}\frac{\beta}{2} = 2sin(\alpha + \frac{n}{2}.\beta)sin(\frac{n+1}{2}.\beta)[/tex]

[tex]A = \frac{sin(\alpha + \frac{n}{2}.\beta)sin(\frac{n+1}{2}.\beta)}{{sin}\frac{\beta}{2}}[/tex]

Аналогично се доказва, че [tex]B = \frac{cos(\alpha + \frac{n}{2}.\beta)sin(\frac{n+1}{2}.\beta)}{{sin}\frac{\beta}{2}}[/tex] (бих го изписал, но е зверско да се пише тригонометрия на LaTeX)

Тогава [tex]A.B = \frac{sin(\alpha + \frac{n}{2}.\beta)sin(\frac{n+1}{2}.\beta)}{{sin}\frac{\beta}{2}}.\frac{cos(\alpha + \frac{n}{2}.\beta)sin(\frac{n+1}{2}.\beta)}{{sin}\frac{\beta}{2}} = \frac{sin^2(\frac{n+1}{2}\beta).sin(2\alpha + n.\beta)}{2{sin^2}\frac{\beta}{2}[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Задача 27(Тригонометрия): Докажете :[tex]{\Sigma}^n_{i = 0}cos(\alpha + i\beta )*{\Sigma}^n_{i = 0}sin(\alpha + i\beta )=\frac{sin^2{\frac{(n+1)\beta }{2 } }sin(2\alpha + n\beta )}{ 2sin^2{\frac{\beta }{ 2} }}[/tex] (5т.)

Нека [tex]A = sin\alpha + sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha + 2\beta) + ... + sin(\alpha + n.\beta)[/tex]
и
[tex]B = cos\alpha + cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha + 2\beta) + ... + cos(\alpha + n.\beta)[/tex]

където [tex]n \in N[/tex]

[tex]A = sin\alpha + sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha + 2\beta) + ... + sin(\alpha + n.\beta)[/tex]

[tex]A.{sin}\frac{\beta}{2} = (sin\alpha + sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha + 2\beta) + ... + sin(\alpha + n.\beta)).{sin}\frac{\beta}{2}[/tex]

[tex]A.{sin}\frac{\beta}{2} = \frac{1}{2}.(cos(\alpha - \frac{\beta}{2}) - cos(\alpha + \frac{\beta}{2} ) + cos(\alpha + \frac{\beta}{2}) - cos(\alpha + \frac{3\beta}{2}) + cos(\alpha + \frac{3\beta}{2}) - cos(\alpha + \frac{5\beta}{2}) +[/tex]

[tex]...[/tex]

[tex]+ cos(\alpha + \frac{2n - 1}{2}.\beta) - cos(\alpha + \frac{2n + 1}{2}.\beta))[/tex]

Всичко се унищожава без първото и последното.

[tex]2A.{sin}\frac{\beta}{2} = cos(\alpha - \frac{\beta}{2}) - cos(\alpha + \frac{2n + 1}{2}.\beta)[/tex]

[tex]2A.{sin}\frac{\beta}{2} = 2sin(\alpha + \frac{n}{2}.\beta)sin(\frac{n+1}{2}.\beta)[/tex]

[tex]A = \frac{sin(\alpha + \frac{n}{2}.\beta)sin(\frac{n+1}{2}.\beta)}{{sin}\frac{\beta}{2}}[/tex]

Аналогично се доказва, че [tex]B = \frac{cos(\alpha + \frac{n}{2}.\beta)sin(\frac{n+1}{2}.\beta)}{{sin}\frac{\beta}{2}}[/tex] (бих го изписал, но е зверско да се пише тригонометрия на LaTeX)

Тогава [tex]A.B = \frac{sin(\alpha + \frac{n}{2}.\beta)sin(\frac{n+1}{2}.\beta)}{{sin}\frac{\beta}{2}}.\frac{cos(\alpha + \frac{n}{2}.\beta)sin(\frac{n+1}{2}.\beta)}{{sin}\frac{\beta}{2}} = \frac{sin^2(\frac{n+1}{2}\beta).sin(2\alpha + n.\beta)}{2{sin^2}\frac{\beta}{2}[/tex]

ДА и аз се сетих после за това умножение с половинката на синуса,само че аз и с 2 бях умножил да махна тая 1/2

[Mr.G{}{}Fy]

Лошото е,че ако не бях решавал подобна задача преди изобщо нямаше да се сетя да с какво да умножа ... и изобщо да умножа с нещо

[strangerforever]

Лошото е,че ако не бях решавал подобна задача преди изобщо нямаше да се сетя да с какво да умножа ... и изобщо да умножа с нещо

То затова се решава по много, за да имаш опит и за да знаеш какво да направиш.

[dimy93]

Всъщност за половинката ъгъл е доста лесно да се сети човек защото го има в знаменателя на това за доказване
междувпрочем според мен може да стане и по индукция без да се разделяна 2 израза-такова 1 решение също ще е интересно

[0xdeadbeef]

Ще добавя към решението на 24-та задача, че [tex]\cos{\gamma}=\frac{a^2 + b^2}{4ab} = \frac{1}{2}[/tex] при [tex]a=b[/tex], т.е когато триъгълника е равнобедрен, но [tex]\cos{\gamma}=\frac{1}{2}[/tex] при [tex]\gamma = \frac{\pi}{3}[/tex], следователно триъгълника е равностраннен.

[dimy93]

Ще добавя към решението на 24-та задача, че [tex]\cos{\gamma}=\frac{a^2 + b^2}{4ab} = \frac{1}{2}[/tex] при [tex]a=b[/tex], т.е когато триъгълника е равнобедрен, но [tex]\cos{\gamma}=\frac{1}{2}[/tex] при [tex]\gamma = \frac{\pi}{3}[/tex], следователно триъгълника е равностраннен.

Точно така

[0xdeadbeef]

Задача 26(Любопитна):Да се докаже че от произволни 13 числа могат да се изберат 2 -x и y такива ,че
[tex]0\le \frac{x-y}{ 1+xy} <\frac{\sqrt{2-\sqrt{3} }}{ \sqrt{2+\sqrt{3} }}[/tex](7т)

Първо ще отбележим, че за всяко [tex]m \in \mathbb{R}[/tex] съществува такъв ъгъл [tex]\varphi \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})[/tex], че [tex]m=tg{\varphi}[/tex].

Полагаме [tex]x=tg{\alpha},y=tg{\beta}[/tex]. Неравенството добива вида [tex]0 \le \frac{tg{\alpha} - tg{\beta}}{1 + tg{\alpha} tg{\beta}} < \frac{\sqrt{2-\sqrt{3} }}{ \sqrt{2+\sqrt{3} }} = 2 - \sqrt{3}[/tex].

Забелязваме, че [tex]tg({\alpha - \beta})=\frac{tg{\alpha} - tg{\beta}}{1 + tg{\alpha} tg{\beta}}[/tex] и [tex]tg{\frac{\pi}{12}} = 2 - \sqrt{3}[/tex]. Сега неравенството е [tex]0 \le tg({\alpha - \beta}) < tg{\frac{\pi}{12}}[/tex].

Понеже тангенс е растяща функция то от [tex]tg({\alpha - \beta}) \ge 0 \Rightarrow \fbox{\alpha \ge \beta}[/tex] и от [tex]tg({\alpha - \beta}) < tg{\frac{\pi}{12}} \Rightarrow \fbox{\alpha - \beta < \frac{\pi}{12}}[/tex].

Разбиваме интервала [tex](-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})[/tex] на 12 равни подинтервала: [tex](-\frac{\pi}{2}, -\frac{5\pi}{12})\cup[-\frac{5\pi}{12},-\frac{4\pi}{12}) \cup [-\frac{4\pi}{12}, -\frac{\pi}{4}) \cup ... \cup[\frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{2})[/tex].

Ако започнем да избираме произволни ъгли от всеки подинтервал, няма да можем да изберем само по един, понеже те са 12, а на нас ни трябват 13, значи от един от подинтервалите можем да изберем два ъгъла (или повече). Збелязваме също така, че всеки два ъгъла [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] такива, че [tex]\alpha \ge \beta[/tex] от един и същи подинтервал отговарят на условието [tex]\alpha - \beta < \frac{\pi}{12}[/tex].

[0xdeadbeef]

В следващата серия от задачи (28-ма до 37-ма), ще пускам от едина примерна тема за СУ.

(4т.) Задача 28. Решете уравнението [tex]x^2 + 2x + \sqrt{2x^2 +4x + 3}=6[/tex].
(4т.) Задача 29. Решете неравенството [tex]log_{2}{log_{\frac{1}{2}}{\frac{3x + 5}{x^2 + 1}}} < 1[/tex].

[Mr.G{}{}Fy]

Задача 26(Любопитна):Да се докаже че от произволни 13 числа могат да се изберат 2 -x и y такива ,че
[tex]0\le \frac{x-y}{ 1+xy} <\frac{\sqrt{2-\sqrt{3} }}{ \sqrt{2+\sqrt{3} }}[/tex](7т)

Първо ще отбележим, че за всяко [tex]m \in \mathbb{R}[/tex] съществува такъв ъгъл [tex]\varphi \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})[/tex], че [tex]m=tg{\varphi}[/tex].

Полагаме [tex]x=tg{\alpha},y=tg{\beta}[/tex]. Неравенството добива вида [tex]0 \le \frac{tg{\alpha} - tg{\beta}}{1 + tg{\alpha} tg{\beta}} < \frac{\sqrt{2-\sqrt{3} }}{ \sqrt{2+\sqrt{3} }} = 2 - \sqrt{3}[/tex].

Забелязваме, че [tex]tg({\alpha - \beta})=\frac{tg{\alpha} - tg{\beta}}{1 + tg{\alpha} tg{\beta}}[/tex] и [tex]tg{\frac{\pi}{12}} = 2 - \sqrt{3}[/tex]. Сега неравенството е [tex]0 \le tg({\alpha - \beta}) < tg{\frac{\pi}{12}}[/tex].

Понеже тангенс е растяща функция то от [tex]tg({\alpha - \beta}) \ge 0 \Rightarrow \fbox{\alpha \ge \beta}[/tex] и от [tex]tg({\alpha - \beta}) < tg{\frac{\pi}{12}} \Rightarrow \fbox{\alpha - \beta < \frac{\pi}{12}}[/tex].

Разбиваме интервала [tex](-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})[/tex] на 12 равни подинтервала: [tex](-\frac{\pi}{2}, -\frac{5\pi}{12})\cup[-\frac{5\pi}{12},-\frac{4\pi}{12}) \cup [-\frac{4\pi}{12}, -\frac{\pi}{4}) \cup ... \cup[\frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{2})[/tex].

Ако започнем да избираме произволни ъгли от всеки подинтервал, няма да можем да изберем само по един, понеже те са 12, а на нас ни трябват 13, значи от един от подинтервалите можем да изберем два ъгъла (или повече). Збелязваме също така, че всеки два ъгъла [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] такива, че [tex]\alpha \ge \beta[/tex] от един и същи подинтервал отговарят на условието [tex]\alpha - \beta < \frac{\pi}{12}[/tex].

Наистина както и dimy каза много красиво решение,елегантно и най-вече разбираемо (човешко)

[portokal]

В следващата серия от задачи (28-ма до 37-ма), ще пускам от едина примерна тема за СУ.

(4т.) Задача 28. Решете уравнението [tex]x^2 + 2x + \sqrt{2x^2 +4x + 3}=6[/tex].
(4т.) Задача 29. Решете неравенството [tex]log_{2}{log_{\frac{1}{2}}{\frac{3x + 5}{x^2 + 1}}} < 1[/tex].

не си дал краен срок да пускаме ли решения ?
гледам, че на първата страница всички имат краен срок,а тези нямат ...

[Mr.G{}{}Fy]

В следващата серия от задачи (28-ма до 37-ма), ще пускам от едина примерна тема за СУ.

(4т.) Задача 28. Решете уравнението [tex]x^2 + 2x + \sqrt{2x^2 +4x + 3}=6[/tex].
(4т.) Задача 29. Решете неравенството [tex]log_{2}{log_{\frac{1}{2}}{\frac{3x + 5}{x^2 + 1}}} < 1[/tex].

не си дал краен срок да пускаме ли решения ?
гледам, че на първата страница всички имат краен срок,а тези нямат ...

Задачите все някой ще ги драсне предполагам до вечерта ... А и в крайна сметка момчето достатъчно си игра да качва задачи,така че да не ставаме нахални ... Целта не е толкова да се състезава някой,а да се научи ...

[0xdeadbeef]

Пускайте решения! Относно крайния срок, той се оказа безсмислен, понеже аз лично понякога не мога да напиша решение след изтичането му и по подразбиране е ден-два. Също така се оказа, че не мога да редактирам постове-те си след известно време (което аз не знаех!) и за това още пише да се добавя краен срок.

[portokal]

В следващата серия от задачи (28-ма до 37-ма), ще пускам от едина примерна тема за СУ.

(4т.) Задача 28. Решете уравнението [tex]x^2 + 2x + \sqrt{2x^2 +4x + 3}=6[/tex].
(4т.) Задача 29. Решете неравенството [tex]log_{2}{log_{\frac{1}{2}}{\frac{3x + 5}{x^2 + 1}}} < 1[/tex].

28. съобразяваме че ДМто е вс. х

полагаме [tex]x^2+2x=y[/tex]

от тук [tex]2x^2+4x=2y[/tex]

задачата добива вида

[tex]y+\sqrt {2y+3}=6[/tex]

[tex]\sqrt {2y+3}=6-y[/tex]

[tex]2y+3=36-12y+y^2[/tex] и от тука ясно ...

29. [tex]log_{2}{log_{\frac{1}{2}}{\frac{3x + 5}{x^2 + 1}}} < log_{2}{2}[/tex]

[tex]{log_{\frac{1}{2}}{\frac{3x + 5}{x^2 + 1}}} < log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}[/tex]

[tex]\frac{3x + 5}{x^2 + 1}>\frac{1}{4}[/tex] и от тук мисля, че пак е ясно



PS: НЕ питах за крайния срок, понеже се съзтезавам, а за да не наруша някакви правила, аз вече бях кандидат студент, просто сега прочитам темата, даже моля да не бъда включван във каквото и да било точково оценяване;
мерси предварително ;д