Кандидат-студентски задачи

[0xdeadbeef]

Задача 32
Докажете, че
[tex]\frac{1}{2sin10^\circ }-2sin70^\circ=1[/tex]
...

Понеже минаха вече три дни, ще напиша доказателство.

[tex]A=\frac{1}{2\sin{10^\circ}} - 2\sin{70^\circ} = \frac{1 -4\sin{10^{\circ}} \sin{70^{\circ}}}{2\sin{10^\circ}} = \frac{1-2(\cos{60^{\circ}} -\cos{80^\circ})}{2\sin{(90^{\circ} - 80^{\circ})}} = \frac{\cos{80^{\circ}}}{\cos{80^{\circ}}}[/tex].
"Убиваме" косинусите и сме доказали равенството.

[dimy93]

Задача 29:Докажете че ако има 1 поне рационален корен [tex]x^4-ax^3-6x^2+ax+1=0[/tex] => има 4 рационални корена(5т)
После да ми напомните да ви кажа откъде е

[tex]x^4-ax^3-6x^2+ax+1=0|:x^2\ne 0[/tex]
Полагаме [tex]y=x-\frac{1}{x }<=>x^2-yx-1=0[/tex] и получаваме :
[tex]y^2-ay-4=0[/tex]
Нека x1 е рационално решение
=>[tex]x_2=-\frac{1}{x_1 }[/tex] също е решение и то е рационално
=> [tex]y_1 = x_1-\frac{1}{x_1 }[/tex] също е рационално => [tex]y2 = \frac{-4}{y_1 }[/tex] също е рационално
x1 -рационално => [tex]D = y_1^2+4=m^2[/tex] -m-рационално
[tex]x^2-y_2x-1 =0[/tex]
[tex]D = y_2^2 + 4=\frac{16}{y_1^2 }+4=\frac{16+4y_1^2}{y_1^2 }= (\frac{2m}{y_1 })^2[/tex]=>x3 ,x4 също са рационални

[strangerforever]

Задача 33

Две окръжности [tex]k_1(O_1,r_1)[/tex] и [tex]k_2(O_2,r_2)[/tex] се допират външно в точката C, a AB e тяхната обща външна допирателна ([tex]A \in k_1, B \in k_2[/tex]). Да се намерят радиусите [tex]r_1[/tex] и [tex]r_2[/tex], ако [tex]AC = a[/tex] и [tex]BC = b[/tex]. (5 точки)

[0xdeadbeef]

Задача 33

Две окръжности [tex]k_1(O_1,r_1)[/tex] и [tex]k_2(O_2,r_2)[/tex] се допират външно в точката C, a AB e тяхната обща външна допирателна ([tex]A \in k_1, B \in k_2[/tex]). Да се намерят радиусите [tex]r_1[/tex] и [tex]r_2[/tex], ако [tex]AC = a[/tex] и [tex]BC = b[/tex]. (5 точки)

Построяваме общата допирателна [tex]l[/tex] на двете окръжности през [tex]C[/tex], като [tex]l\cap AB=M[/tex].
[tex]\triangle ABC[/tex] е правоъгълен, понеже [tex]CM[/tex] е медиана и [tex]CM=AM=MB=\frac{1}{2}AB[/tex].
Построяваме [tex]MO_1[/tex], като [tex]MO_1 \perp AC[/tex].

[tex]\triangle O_1CH \sim \triangle ABC:[/tex] [tex]\frac{CH}{BC}=\frac{O_1C}{AB}[/tex], от където [tex]\fbox{r_1=O_1C=\frac{a\sqrt{a^2 +b^2}}{2b}}[/tex].
Аналогично [tex]\fbox{r_2 = O_2C = \frac{b\sqrt{a^2 +b^2}}{2a}}[/tex]

[0xdeadbeef]

Прилагам таблицата с точките до момента!

[ganka simeonova]

зад.34. Една и от мен, ако може:)

Триъгълникът АВС е вписан в окръжност. Ъглополовящата на ъгъл С пресича АВ в т. L, а описаната окръжност- в т.Р, като AL:LB=2:1
От точка Р е построен перпендикуляр към СВ, който пресича СВ в т.Т.
Да се намери отношението
СТ:СВ

[strangerforever]

Задача 35

Нека I е центърът на вписаната окръжност в триъгълника ABC. Нека тази окръжност се допира до страните BC, CA и AB съответно в K, L и M. Правата през B, успорена на MK, пресича правите LM и LK съответно в точките R и S. Да се докаже, че [tex]\angle RIS[/tex] е остър. (5 точки)

[ganka simeonova]

Задача 35

Нека I е центърът на вписаната окръжност в триъгълника ABC. Нека тази окръжност се допира до страните BC, CA и AB съответно в K, L и M. Правата през B, успорена на MK, пресича правите LM и LK съответно в точките R и S. Да се докаже, че [tex]\angle RIS[/tex] е остър. (5 точки)

При стандартните означения за елементите на АВС.
От подобието на [tex]\Delta MBR;\Delta SBK=>BS.BR=(p-b)^2[/tex]
[tex]\Delta RBI=>RB=htg\varphi ; \Delta SBI=>BS=htg\delta =>tg\varphi tg\delta =(\frac{p-b}{ h} )^2[/tex]

[tex]\Delta IMB=>\frac{p-b}{ h} =cos{\frac{\beta }{ 2}} =>tg\varphi tg\delta =cos^2{\frac{\beta }{2 } }<1[/tex]=>
[tex]tg\angle IRB.tg\angle ISB>1[/tex]
В триъгълник RIS=>произведението на тангенсите на два ъгъла е по- голямо от 1=> триъгълникът е остроъгълен.
Последното е известно неравенство, което оставям на вас:) Ако искате, мога и да го докажа.

[ganka simeonova]

зад.34. Една и от мен, ако може:)

Триъгълникът АВС е вписан в окръжност. Ъглополовящата на ъгъл С пресича АВ в т. L, а описаната окръжност- в т.Р, като AL:LB=2:1
От точка Р е построен перпендикуляр към СВ, който пресича СВ в т.Т.
Да се намери отношението
СТ:СВ

Никой ли не иска да помисли над моята задача?
Толкова е простичка и лесна. Само трябва да видите очевидното

[prodanov]

Мъча се още, ама как да го видя 'кат съм кьорав.

[Mr.G{}{}Fy]

Мъча се още, ама как да го видя 'кат съм кьорав.

Ставаме 2ма До колкото я гледам задача е 9-класна според мен ама ...

[prodanov]

Мисля да пробвам с Менелайчо в РТС кат се върна, че имам малко занимавка. Дали съм уцелил?

[baroveca]

Ето че ставаме двама с Менелайчо

[Mr.G{}{}Fy]

Мисля да пробвам с Менелайчо в РТС кат се върна, че имам малко занимавка. Дали съм уцелил?

Така не е интересно с жокери

[ganka simeonova]

Никакъв Менелай и пр. Задачата е толкова лесна и елегантна..

[BTK Strangler]

Баа и аз не мога да го видя още.. сигурно е нещо много просто от сорта на подобни ▲ци или 1-2 отношения на кръст и туй е..

[0xdeadbeef]

зад.34. Една и от мен, ако може:)

Триъгълникът АВС е вписан в окръжност. Ъглополовящата на ъгъл С пресича АВ в т. L, а описаната окръжност- в т.Р, като AL:LB=2:1
От точка Р е построен перпендикуляр към СВ, който пресича СВ в т.Т.
Да се намери отношението
СТ:СВ

Нека [tex]AC=2y;BC=y;AL=2x;BL=x[/tex].

Построяваме [tex]BQ || PT (Q \in CP)[/tex].

[tex]\cos{\gamma} = \frac{BC}{CQ} = \frac{y}{CQ}[/tex] [tex]\small{(1)}[/tex], където [tex]\gamma = \frac{1}{2} \angle ACB[/tex]

[tex]CL=2\frac{AC.BC}{AC + BC}\cos{\gamma} = \frac{4}{3}y\cos{\gamma}[/tex] [tex]\small{(2)}[/tex].

От [tex]\small{(1)}[/tex] и [tex]\small{(2)}[/tex] изразяваме [tex]CQ=\frac{4y^2}{3CL}[/tex].

[tex]\small{(3)}[/tex] [tex]CL.PL= AL.BL = 2x^2[/tex] (св. на хордите)
[tex]\small{(4)}[/tex] [tex]AL + PL = CP[/tex]
[tex]\small{(5)}[/tex] [tex]CL^2 = AC.BC - AL.BL = 2y^2 - 2x^2[/tex]

От [tex]\small{(3)}[/tex],[tex]\small{(4)}[/tex] и [tex]\small{(5)}[/tex] изразяваме [tex]CP = \frac{2y^2}{CL}[/tex].

Талес за [tex]\triangle PTC[/tex] : [tex]\frac{CQ}{CP} = \fbox{\frac{CB}{CT} = \frac{2}{3}}[/tex].

п.п. остана само да е вярно.

[baroveca]

Знаех си, че това е отговора,но не посмях да го напиша... с точен чертеж ми излизаше, но нямах решение

[Mr.G{}{}Fy]

зад.34. Една и от мен, ако може:)

Триъгълникът АВС е вписан в окръжност. Ъглополовящата на ъгъл С пресича АВ в т. L, а описаната окръжност- в т.Р, като AL:LB=2:1
От точка Р е построен перпендикуляр към СВ, който пресича СВ в т.Т.
Да се намери отношението
СТ:СВ

Нека [tex]AC=2y;BC=y;AL=2x;BL=x[/tex].

Построяваме [tex]BQ || PT (Q \in CP)[/tex].

[tex]\cos{\gamma} = \frac{BC}{CQ} = \frac{y}{CQ}[/tex] [tex]\small{(1)}[/tex], където [tex]\gamma = \frac{1}{2} \angle ACB[/tex]

[tex]CL=2\frac{AC.BC}{AC + BC}\cos{\gamma} = \frac{4}{3}y\cos{\gamma}[/tex] [tex]\small{(2)}[/tex].

От [tex]\small{(1)}[/tex] и [tex]\small{(2)}[/tex] изразяваме [tex]CQ=\frac{4y^2}{3CL}[/tex].

[tex]\small{(3)}[/tex] [tex]CL.PL= AL.BL = 2x^2[/tex] (св. на хордите)
[tex]\small{(4)}[/tex] [tex]AL + PL = CP[/tex]
[tex]\small{(5)}[/tex] [tex]CL^2 = AC.BC - AL.BL = 2y^2 - 2x^2[/tex]

От [tex]\small{(3)}[/tex],[tex]\small{(4)}[/tex] и [tex]\small{(5)}[/tex] изразяваме [tex]CP = \frac{2y^2}{CL}[/tex].

Талес за [tex]\triangle PTC[/tex] : [tex]\frac{CQ}{CP} = \fbox{\frac{CB}{CT} = \frac{2}{3}}[/tex].

п.п. остана само да е вярно.

Вярно е ... Довечера ще постна и моето решение (за което ми помогна един човек) и е лесничко
А относно името на човека...умишлено не го споменавам(въпрос на гледна точка) ,ако той иска ще го спомена

[Mr.G{}{}Fy]

Ето го и него :
http://prikachi.com/images/161/3424161z.jpg
извинявам се за лошото качество и за не чак толкова красивото писане ...

[0xdeadbeef]

(4т.) Задача 36. Даден е трапец с бедра [tex]3\sqrt{2}[/tex]см. и [tex]5[/tex]см. Намерете височината му, ако [tex]\sin\varphi = \frac{1}{3}[/tex], където [tex]\varphi[/tex] е мярката на ъгъла образуван от бедрата му.
(5т.) Задача 37. Дадена е функцията [tex]f(x) = x^2 -mx +m-1[/tex]
a) За коя стойност на параметъра [tex]m[/tex] допирателната към графиката в т. [tex]x_0 = \sqrt{3}[/tex] сключва с положителната посока на оста [tex]Ox[/tex] ъгъл [tex]30^\circ[/tex].
б) Ако [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] са корените на [tex]f(x) = 0[/tex], да се намери най-малката стойност на [tex]P = m(x^{2}_{1} + x^{2}_{2} -6)[/tex] ако [tex]m \in [0,2][/tex]

[prodanov]

[tex]f'(x)=2x-m\\f'(\sqrt3)=\frac1{\sqrt3}\leftrightarrow m=\frac{5\sqrt3}3\\[/tex]
--

[tex]f(m)=m((x_1+x_2)^2-2x_1x_2-6)=m^3-2m^2-4m\\f'(m)=3m^2-4m-4=0\\m_1=2; \vspace{}m_2=-\frac23\\\Rightarrow f(m)\uparrow(-\infty, -\frac23) \cup (2,+\infty); \vspace{} f(m)\downarrow(-\frac23, 2)\\\Rightarrow f(m)_{min \in[0,2]} = minf(m)=f(2) = -8[/tex]

[baroveca]

б)
[tex]P=m((x_1+x_2)^2-2x_1x_2-6)[/tex]
[tex]P=m(m^2-2(m-1)-6)[/tex]
[tex]P=m^3-2m^2-4m[/tex]
[tex]f'(m)=3m^2-4m-4=>m_1=2,m_2=-\frac{2}{3 }[/tex]
[tex]f''(m)=6m-4[/tex]
[tex]f(2)=8>0=>[/tex] в тази точка имаме локален минимум
[tex]f(-\frac{2}{3 })<0=>[/tex] имаме локален максимум..

[tex]f(0)=0[/tex]
[tex]f(2)_{min}=8-8-8=-8[/tex]
[tex]f(\frac{2}{3 })_{max}=-\frac{104}{27 }[/tex]
От тези стойности най-малка е -8, следователно тя е НМС в интервала [0,2]
Ако не съм объркал нещо в сметките..че малко ми се спи , би трябвало да е така?
ПП- не видях,че prodanov е написал решение.

[BTK Strangler]

36. През С правим права, успоредна на диагонала BD, която пресича АВ в т.Т.
[tex]sin\varphi = \frac{1}{3 } \Rightarrow cos\varphi = \pm \frac{2\sqrt{2} }{3 }[/tex]
1сл. [tex]cos\varphi = \frac{2\sqrt{2} }{3 }[/tex]. След косинусова т-ма за ▲ATC, намираме, че [tex]AT=\sqrt{83}[/tex]. Пишем лицето на АСТ по 2 начина: [tex]h*AT = BD*AC*sin\varphi \Leftrightarrow h= \frac{BD*AC*sin\varphi }{AT } \Rightarrow \fbox{h=\frac{5 }{\sqrt{166} }}[/tex]
2сл. [tex]cos\varphi = -\frac{2\sqrt{2} }{3 }[/tex].След косинусова т-ма за ▲ATC, намираме, че [tex]AT=\sqrt{3}[/tex]. Пак след писане на лицето по 2 начина [tex]h*\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{2} }{ 2} \Leftrightarrow \fbox{h=\frac{5}{ \sqrt{6} }}[/tex]

[prodanov]

След косинусова т-ма за ▲ATC, намираме, че [tex]AT=\sqrt{83}[/tex]

Объркал си диагоналите с бедрата.