Кандидат-студентски задачи

[strangerforever]

Аз получавам [tex]\frac{5\sqrt{6}}{3}[/tex] и [tex]\frac{5\sqrt{166}}{83}[/tex].

[prodanov]

ахъм.

[tex]P = AD \cap BC; DP=x; CP=y; AB=a; CD=b;\\
\frac x{x+3\sqrt2}=\frac ba \leftrightarrow x=\frac{3b\sqrt2}{a-b}[/tex]
[tex]\frac y{y+5}=\frac ba \leftrightarrow y=\frac{5b}{a-b};[/tex]

[tex]S_{DCP} = \frac12xysin\varphi = \frac{5\sqrt2b^2}{2(a-b)^2}[/tex]
[tex]S_{ABP} = \frac12(x+3\sqrt2)(y+5)\sin\varphi=\frac{5\sqrt2a^2}{2(a-b)^2}\\
\Rightarrow S_{ABCD} = S_{ABP} - S_{DCP} = \frac{5\sqrt2}{2(a-b)^2}(a^2-b^2) = \frac{a+b}2h\\
\leftrightarrow h=\frac{5\sqrt2}{a-b};[/tex]

[tex]cosTh_{\Delta DCP}:\vspace{}b^2=x^2+y^2\mp2xy\frac{2\sqrt2}3\\
a_1=\sqrt3+b;\vspace{} a_2=\sqrt{83}+b;\\
\Rightarrow h_1=\frac53\sqrt6;\vspace{} h_2=\frac5{83}\sqrt{166}[/tex]

[strangerforever]

Леко различно:

Нека бедрата се пресичат в т. T. Нека [tex]DT = x[/tex], от Талес изразяваме [tex]CT = \frac{5\sqrt{2}x}{6}[/tex]
Нека [tex]\angle DCT = \angle ABT = \alpha[/tex]

[tex]sin\varphi = \frac{1}{3} \Rightarrow cos\varphi = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]

Нека първо [tex]cos\varphi = \frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]

[tex]cosT (\Delta TDC): x^2 + \frac{25x^2}{18} - 2x^2.\frac{5\sqrt{2}}{6}.\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]

[tex]x = \frac{x}{\sqrt{6}}[/tex]

[tex]sinT (\Delta TDC): \frac{\frac{x}{\sqrt{6}}}{\frac{1}{3}} = \frac{x}{sin\alpha} \Leftrightarrow sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}[/tex]

[tex]h = 5.sin\alpha = \frac{5\sqrt{6}}{3}[/tex]

Аналогично за [tex]cos\varphi = -\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex] се намира [tex]h = \frac{5\sqrt{166}}{83}[/tex]

[strangerforever]

Задача 38

Даден е [tex]\Delta ABC[/tex]. X лежи на BC и AX е ъглополовящата на [tex]\angle BAC[/tex]. Y лежи на AC и BY е ъглополовящата на [tex]\angle ABC[/tex]. [tex]\angle BAC = 60^\circ[/tex]. [tex]AB + BX = AY + YB[/tex]. Да се намерят всички възможни стойности на [tex]\angle ABC[/tex]. (6 точки)

[prodanov]

Задача 39(2т)

Даден е квадрат АВСD със страна [tex]a[/tex], в който точка N е средата на ВС, а М е от страна CD, така че CM:MD=2:1. Диагоналът ВD пресича AN и AM съответно в точките Р и К. Да се намери лицето на петоъгълника КРNCM.

[loving_math]

Приемат ли се решения и от хора, които отдавна вече са далеч от възрастта на кандидат-студенти ? Ако да, отговорът на 38-ма задача е 80°, а този на 39-та е 3a^2/8. Тъй като не умея да чертая с програмите, които болшинството участници във форума ползват, решението и чертежът на първата ще напиша на лист, който после ще сканирам, а на втората директно ще го постна тук, след около половин час обаче.

[strangerforever]

Задача 39(2т)

Даден е квадрат АВСD със страна [tex]a[/tex], в който точка N е средата на ВС, а М е от страна CD, така че CM:MD=2:1. Диагоналът ВD пресича AN и AM съответно в точките Р и К. Да се намери лицето на петоъгълника КРNCM.

[tex]CM = \frac{2a}{3} , DM = \frac{a}{3} , CN = BN = \frac{a}{2}[/tex]

От тeоремата на Талес следва, че [tex]\frac{AP}{PN} = \frac{a}{\frac{a}{2}} = \frac{2}{1}[/tex] и [tex]\frac{AK}{KM} = \frac{a}{\frac{a}{3}} = \frac{3}{1}[/tex]

От горното следва, че [tex]S_{DMK} = \frac{1}{4}.S_{AMD}[/tex] и [tex]S_{BPN} = \frac{1}{3}.S_{ABN}[/tex]

[tex]S_{AMD} = \frac{a^2}{6} \Rightarrow S_{DMK} = \frac{a^2}{24}[/tex]

[tex]S_{ABN} = \frac{a^2}{4} \Rightarrow S_{BPN} = \frac{a^2}{12}[/tex]

Тогава [tex]S_{KMCNP} = S_{BCD} - S_{BPN} - S_{DMK} = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{24} - \frac{a^2}{12} = \frac{3a^2}{8}[/tex]

@loving_math: Защо да не се приемат? Целта е да си бъдем полезни.

Чертежът е на tautochrone.

[0xdeadbeef]

(5т.) Задача 40. Дадена е квадратната функция[tex]f(x)=x^2+(a-3)x+b-3[/tex].
Да се намери най-малката стойност на [tex]f(x)[/tex], ако [tex]f(x)\ge(a-3)x^2+(b-3)x+1\ge (b-3)x^2+x+a-3[/tex] са изпълнени за всяко [tex]x[/tex] и [tex]a,b \in \mathbb{R}[/tex].

Намерих я във форума по алгебра, изглежда подходяща.

П.П. Извинявам се, че малко избързвам, преди да има решение на зад. 38, но има опастност някой да ни изпревари

[loving_math]

38-ма.
Продължаваме правата АВ до точка М, така че [tex]BM=BX[/tex]
=>▲[tex]BMX[/tex] е равнобедрен и [tex]BX=BM , \angle BMX = \angle BXM = \alpha[/tex]
Съвсем аналогична продължаваме AC до точка N, така че [tex]YN=YB[/tex]
=>▲[tex]BYN[/tex] е равнобедрен и [tex]BY=BN, \angle YNB =\angle YBN = \beta[/tex]
[tex]AN=AY+YN=AY+YB=AB+BX=AB+BM=AM[/tex]
От[tex]AM=AN[/tex] и [tex]\angle A=60 ^\circ[/tex] =>▲[tex]AMN[/tex]е равностранен
=>[tex]\angle A = \angle M = \angle N=60^\circ[/tex]
[tex]\angle ABC[/tex] е външен за ▲[tex]BMX[/tex]
=>[tex]\angle ABC= 2 \alpha , \angle ABY= \angle CBY = \alpha[/tex]
=>[tex]\angle XNB = \angle XBN = \beta - \alpha[/tex]=>▲BXN е равнобедрен и [tex]XN=XB[/tex], [tex](1)[/tex]
Продължаваме АХ до пресичането й с MN в точка Н.
[tex]AH \equiv h \equiv l \equiv m \equiv s[/tex]
От свойството на симетралата имаме [tex]XM=XN[/tex], [tex](2)[/tex]
От 1 и 2 =>[tex]BX=XM=BM[/tex] и ▲[tex]BMX[/tex] e равностранен
=>[tex]\alpha =60^\circ , 2 \alpha =120^\circ[/tex]
Получаваме невъзможно нещо с оглед сбора на ъглите в тръгълник.
[tex]\angle A + \angle B + \angle C=180^\circ[/tex]
Но ни излиза, че [tex]60+\angle B=180 ^\circ[/tex]
=>[tex]C \equiv N, \angle B=2 \angle C[/tex]
[tex]B+C=120 <=> 3C=120 ,C=40^\circ[/tex]
[tex]\angle ABC=80^\circ[/tex]

[prodanov]

(5т.) Задача 40. Дадена е квадратната функция[tex]f(x)=x^2+(a-3)x+b-3[/tex].
Да се намери най-малката стойност на [tex]f(x)[/tex], ако [tex]f(x)\ge(a-3)x^2+(b-3)x+1\ge (b-3)x^2+x+a-3[/tex] са изпълнени за всяко [tex]x[/tex] и [tex]a,b \in \mathbb{R}[/tex].
Намерих я във форума по алгебра, изглежда подходяща.

П.П. Извинявам се, че малко избързвам, преди да има решение на зад. 38, но има опастност някой да ни изпревари

от условието се получават следните не-ства
[tex]\forall x: \vspace{}\begin{t}{|l}(4-a)x^2 + (a-b)x -(4-b) \ge 0\\
(a-b)x^2 + (b-4)x -(a-4)\ge 0\\
(4-b)x^2 + (a-4)x -(a-b)\ge0\end{t}\\
\leftrightarrow \begin{t}{|l}4-a\ge0\\a-b\ge0\\4-b\ge0\end{t}\\let\vspace{} a < 4:\vspace{} D_1\le0\\
(a-b)^2 + 4(4-a)(4-b) \le 0\\
\Rightarrow a=b=4;\\
\Rightarrow f(x)=x^2+x+1\\
\Rightarrow minf(x) = f(-\frac12) = \frac34[/tex]

Задачата е перфе - падала се е индентична на 10та в СУ мин година май беше.

[0xdeadbeef]

Темата за която спомена @prodanov, можете да намерите тук.

[0xdeadbeef]

(2т.)Задача 41. Четири числа образуват монотонна геометрична прогресия така, че сборът на първите две към сбора на последните две се отнася както 1:4 и произведението на първите две е с 10 по-голямо от четвъртото. Намерете числата.
(3т.)Задача 42. Решете системата: [tex]\left\tabular{3^{2x - 2y} + 2.3^{x-y} -3 = 0\\ 3^x + 3^{1-y} = 4}[/tex]

П.П. Последните задачи взимам от една тема (както споменах преди няколко поста), не го приемайте като спам това, че има доста лесни.

[prodanov]

[tex]let\vspace{} t=3^{x-y}; D(t):\vspace{}t>0\\
\begin{t}{|l}t^2 + 2t - 3 = 0\\3^x+3.3^{-y}=4\end{t} \Leftrightarrow \begin{t}{|l}t_1=1;\vspace{}t_2=-3 \notin D(t)\\3^x.3^y + 3 = 4.3^y\end{t} \Leftrightarrow \begin{t}{|l}let \vspace{} u=3^x=3^y>0\\u^2-4u+3=0\end{t} \Leftrightarrow u_1=3;\vspace{}u_2=1\\ \Leftrightarrow x_1=y_1=0;\vspace{} x_2=y_2=1[/tex]

43(3т). Да се докаже:
а)[tex]2^x + 2^{-x} \ge 2-x^2[/tex]
б) [tex]x^2+x+1 > sinx[/tex]

[0xdeadbeef]

[tex]let\vspace{} t=3^{x-y}; D(t):\vspace{}t>0\\
\begin{t}{|l}t^2 + 2t - 3 = 0\\3^x+3.3^{-y}=4\end{t} \Leftrightarrow \begin{t}{|l}t_1=1;\vspace{}t_2=-3 \notin D(t)\\3^x.3^y + 3 = 4.3^y\end{t} \Leftrightarrow \begin{t}{|l}3^x=\frac1{3^y}\\1+3=4.3^y\end{t} \Leftrightarrow 3^y=1 \Leftrightarrow x=y=0[/tex]
...

Има още решения!

[prodanov]

Направо си беше грешно половината.

[0xdeadbeef]

Сега като го редактира е добре

[BTK Strangler]

(2т.)Задача 41. Четири числа образуват монотонна геометрична прогресия така, че сборът на първите две към сбора на последните две се отнася както 1:4 и произведението на първите две е с 10 по-голямо от четвъртото. Намерете числата.

[tex]\begin{t}{|l}4b+4bq=bq^{2}+bq^{3}\\b^{2}q=bq^{3}+10\end{t}[/tex] От първото у-е намираме [tex]q_{1}=-1, q_{2,3}=\pm 2[/tex] След заместване във второто у-е:
при [tex]q=-1 \Rightarrow b^{2}-b+10=0\vspace{} D<0[/tex]
при [tex]q=2 \Rightarrow b^{2}-4b-5=0\vspace{} \fbox{b_{1}=-1\vspace{} b_{2}=5}[/tex]
при [tex]q=-2 \Rightarrow b^{2}-4b+5=0\vspace{} D<0[/tex]
[tex]\Rightarrow \fbox{-1,-2,-4,-8;\vspace{} \\<br>\vspace{}\vspace{}\vspace{}5,10,20,40;}[/tex]

[BTK Strangler]

43(3т)[/b]. Да се докаже:
а)[tex]2^x + 2^{-x} \ge 2-x^2[/tex]
б) [tex]x^2+x+1 > sinx[/tex]

a) [tex]2^x + 2^{-x} = 2^x+\frac{1}{ 2^x} \ge 2[/tex] ( [tex]\le 2[/tex] отпада, тъй като [tex]2^x >0)[/tex]. НГС на дясната част се достига, когато x² има най-малка стойност => x=0.
НМС на лявата част е 2 и също се достига при х=0.
б) Делим двете страни на x
[tex]x+\frac{1}{x }+1>\frac{sinx}{ x}[/tex]. Сега дясната част е <1, а лявата >= 3.

[prodanov]

б) не ти е вярно.

[ganka simeonova]

Ето го и него :
http://prikachi.com/images/161/3424161z.jpg
извинявам се за лошото качество и за не чак толкова красивото писане ...

На това вече му се казва красиво решение

[baroveca]

44 задача Решете уравнението: [tex]log_5(3.2^{x+1}-2^{-x}.5^{2x+1})-x=log_513[/tex] - 4 точки.
45 задача В правоъгълен триъгълник е вписана окръжност. Съединени са допирните й точки със страните на триъгълника. В получения триъгълник са построени две височини от върховете, които са допирни точки на окръжността с катетите. Отсечката, която съединява петите на височините, има дължина d. Една от отсечките, на които се разделя хипотенузата на правоъгълния триъгълник от допирната точка на вписаната окръжност има дължина m(m>d). Намерете лицето на правоъгълния триъгълник. 7 точки

[BTK Strangler]

44 задача Решете уравнението: [tex]log_5(3.2^{x+1}-2^{-x}.5^{2x+1})-x=log_513[/tex] - 4 точки.

[tex]log_5(3.2^{x+1}-2^{-x}.5^{2x+1})-x=log_513 \Leftrightarrow 3.2^{x+1}-2^{-x}.5^{2x+1} = 13.5^{x}\\<br> let \vspace{} 2^x=a\vspace{} and \vspace{} 5^x=b\\<br> \Rightarrow 6.a-\frac{5b^2}{a } = 13b \Leftrightarrow 6a^2-5b^2-13ab=0[/tex]
Делим на [tex]b^2[/tex] и полагаме [tex]\frac{a}{b } =(\frac{2}{5 })^{x}= t>0[/tex]
[tex]\Rightarrow 6t^2-13t-5=0 \vspace{} \fbox{t_{1}=-\frac{1}{ 3} \vspace{} t_{2}=\frac{5}{2 }}[/tex]
Само [tex]t_{2}[/tex] удовлетворява условието t>0
[tex]\Rightarrow (\frac{2}{5 })^{x}=\frac{5}{2 } \vspace{} \Rightarrow \fbox{x=-1}[/tex] След директна проверка установяваме, че х=-1 удовлетворява уравнението.

[prodanov]

Някой 43-та б)?

43(3т). Да се докаже:
б) [tex]x^2+x+1 > sinx[/tex]

[ganka simeonova]

Някой 43-та б)?

43(3т). Да се докаже:
б) [tex]x^2+x+1 > sinx[/tex]

[tex]f(x)=x^2+x+1; g(x)=sinx[/tex]

1)Да разгледаме неравенството:

[tex]x^2+x+1>1=>x^2+x>0=>x\in (-\infty ;-1)\cup (0;+\infty )[/tex]=>

[tex]f(x)>1; sinx<1; x\in (-\infty ;-1)\cup (0;+\infty )[/tex]=>в тези два интервала неравенството е изпълнено.

2)Сега да разгледаме [tex]x\in [-1;0][/tex] В него [tex]f(x)>0; sinx\le 0=>f(x)>sinx[/tex]

От 1) и 2)=>неравенството е изпълнено за всяко х.

[prodanov]

46(10т)
Нека [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex], където [tex]a,b[/tex] и [tex]c[/tex] са реални параметри.
Да се докаже, че:
(3т) а) [tex]f(x) = \frac{x(x-1)}2f(-1) + (1-x^2)f(0) + \frac{x(x+1)}2f(1);[/tex]
(7т) б) Ако [tex]|f(-1)| \le 1,\vspace{} |f(0)| \le 1,\vspace{} |f(1)| \le 1\vspace{}[/tex], то [tex]\forall x \in [-1,1]:\vspace{}|f(x)| \le \frac54[/tex]