Кандидат-студентски задачи

[BTK Strangler]

Да се докаже, че:
(3т) а) [tex]f(x) = \frac{x(x-1)}2f(-1) + (1-x^2)f(0) + \frac{x(x+1)}2f(1);[/tex]

[tex]f(x) = \frac{x(x-1)}2f(-1) + (1-x^2)f(0) + \frac{x(x+1)}2f(1)\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow ax^2+bx+c=\frac{x(x-1)(a-b+c)}{ 2}+(1-x^2)c+\frac{x(x+1)(a+b+c)}{2 }\\ \let \vspace{}\vspace{}\vspace{} \frac{x(x-1)(a-b+c)}{ 2}+(1-x^2)c+\frac{x(x+1)(a+b+c)}{2 } = A[/tex]
[tex]\Rightarrow A=\frac{x(x-1)(a+c) }{2 } - \frac{bx(x-1)}{2 }+(1-x^2)c +\frac{x(x+1)(a+c)}{2 } + \frac{bx(x+1)}{ 2} \\ A= \frac{x(a+c)}{ 2}(x-1+x+1) - \frac{bx}{2 }(x-1-x+1) + (1-x^2)c\\ A= x^{2}(a+c)+bx+c-cx^{2} = ax^{2}+bx+c=f(x)[/tex]

[ganka simeonova]

46(10т)
Нека [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex], където [tex]a,b[/tex] и [tex]c[/tex] са реални параметри.
Да се докаже, че:
(3т) а) [tex]f(x) = \frac{x(x-1)}2f(-1) + (1-x^2)f(0) + \frac{x(x+1)}2f(1);[/tex]
(7т) б) Ако [tex]|f(-1)| \le 1,\vspace{} |f(0)| \le 1,\vspace{} |f(1)| \le 1\vspace{}[/tex], то [tex]\forall x \in [-1,1]:\vspace{}|f(x)| \le \frac54[/tex]

б) Като приложим :[tex]|a_1+...+a_n|\le |a_1|+...|a_n|[/tex] и [tex]|a_i.a_j|=|a_i|.|a_j|[/tex]=>

[tex]f(x)=[/tex]
=[tex]-x^2-x+1; x\in [-1; 0][/tex] или

=[tex]-x^2+x+1; x\in [0; 1][/tex]

НГС и на двете функции в разглежданите интервали е 5/4=> всичко и ОК

[0xdeadbeef]

Задача 45.

[tex]\angle FTE = \frac{1}{2} \angle FOE = 45^{\circ}[/tex]. [tex]\triangle KLT \sim \triangle FET[/tex] с коефициент на подобие [tex]k = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] (доказателство тук.)
[tex]\frac{KL}{FE} = \frac{d}{FE} = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], от където [tex]FE = \sqrt{2}d[/tex]. От П.Т за [tex]\triangle FEC[/tex] намираме [tex]FC=CE=r=\frac{d\sqrt{2}}{2}[/tex], където [tex]r[/tex] е радиуса на вписаната в ABC окръжност.
Нека [tex]AT=m[/tex] и [tex]BT=x[/tex], тогава [tex]AC = r + m; BC = x + r; AB = m +x[/tex]. П.Т за триъгълник ABC: [tex](m+x)^2 = (m+r)^2 + (x+r)^2 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (m+x)^2 = (m + \frac{\sqrt{2}}{2}d)^2 + (x + \frac{\sqrt{2}}{2}d)^2[/tex], от където [tex]x = \frac{md\sqrt{2} + d^2}{2m - d\sqrt{2}}[/tex].
[tex]S_{\triangle ABC} = mx = m \frac{md\sqrt{2} + d^2}{2m - d\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}d^3 + 4md^2 +2\sqrt{2}m^2d}{(2m - \sqrt{2}d)(2m + \sqrt{2}d)}= \frac{(2m + d\sqrt{2})^{\cancel{2}}}{4(2m - \sqrt{2}d)\cancel{(2m + \sqrt{2}d)}} = \fbox{\frac{2m + d\sqrt{2}}{4(2m - d\sqrt{2})}}[/tex]

[0xdeadbeef]

Ще напиша още едно доказателство на 43/(б), така да има.

Означаваме [tex]f(x) = x^2 +x +1 - \sin{x}[/tex].
[tex]f'(x) = 2x + 1 -\cos{x}; f''(x) = 2 + \sin{x} > 0 \Rightarrow f'(x)\uparrow[/tex] и значи [tex]f'(x)[/tex] има най-много един реален корен.
Забелязваме, че [tex]f'(0) = 0[/tex], значи [tex]f(x)\downarrow(\uparrow)[/tex] за [tex]x < 0 (>0)[/tex] и [tex]f(x) \ge f(0) = 1[/tex]

[baroveca]

Задача 45.

[tex]\fbox{\frac{2m + d\sqrt{2}}{4(2m - d\sqrt{2})}}[/tex]

Не е това отговорът.

[BTK Strangler]

Аз получавам [tex]\frac{md(m+d)}{ (m-d)}[/tex]. Моето решение е същото, но получавам,че [tex]r=d[/tex] и [tex]x=\frac{d(d+m)}{m-d }[/tex]

[baroveca]

Аз получавам [tex]\frac{m(m+d)}{ d(m-d)}[/tex]

He!

[BTK Strangler]

Аз получавам [tex]\frac{m(m+d)}{ d(m-d)}[/tex]

He!

Oправих си го бях обърнал d-тo в сметките :Д

[baroveca]

Oправих си го бях обърнал d-тo в сметките :Д

He..

[BTK Strangler]

e щом не е и [tex]\frac{md(m+d)}{m-d }[/tex], се предавам , ем че решението ми ми изглежда вярно. предполагам tautоchrone има някоя изчислителна грешка, за да получава различен отговор от моя.Някой друг да се бори с тая задача тогава

[baroveca]

e щом не е и [tex]\frac{md(m+d)}{m-d }[/tex]

Е вече позна

[BTK Strangler]

Аз получавам [tex]\frac{md(m+d)}{ (m-d)}[/tex]. Моето решение е същото, но получавам,че [tex]r=d[/tex] и [tex]x=\frac{d(d+m)}{m-d }[/tex]

[baroveca]

Аз получавам [tex]\frac{md(m+d)}{ (m-d)}[/tex]. Моето решение е същото, но получавам,че [tex]r=d[/tex] и [tex]x=\frac{d(d+m)}{m-d }[/tex]

Не видях,че редактира поста си

[prodanov]

46(10т)
Нека [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex], където [tex]a,b[/tex] и [tex]c[/tex] са реални параметри.
Да се докаже, че:
(3т) а) [tex]f(x) = \frac{x(x-1)}2f(-1) + (1-x^2)f(0) + \frac{x(x+1)}2f(1);[/tex]
(7т) б) Ако [tex]|f(-1)| \le 1,\vspace{} |f(0)| \le 1,\vspace{} |f(1)| \le 1\vspace{}[/tex], то [tex]\forall x \in [-1,1]:\vspace{}|f(x)| \le \frac54[/tex]

б) Като приложим :[tex]|a_1+...+a_n|\le |a_1|+...|a_n|[/tex] и [tex]|a_i.a_j|=|a_i|.|a_j|[/tex]=>

[tex]f(x)=[/tex]
=[tex]-x^2-x+1; x\in [-1; 0][/tex] или

=[tex]-x^2+x+1; x\in [0; 1][/tex]

НГС и на двете функции в разглежданите интервали е 5/4=> всичко и ОК

как точно се прилагат?

[0xdeadbeef]

При решаването на 45-та задача съм допуснал техническа грешка в началото, а и от там отговора се получава грешен. [tex]r=d[/tex] трябва да е, а не [tex]r=\frac{d\sqrt{2}}{2}[/tex].

[baroveca]

[tex]\fbox{x=-1}[/tex] След директна проверка установяваме, че х=-1 удовлетворява уравнението.

Кажи го на авторите на задачата..посочили ми като отговор [tex]x=log_{\frac{2}{ 5}} {\frac{5}{3 }}[/tex]
И аз получих х=-1...

[0xdeadbeef]

(5т.)Задача 47. Докажете, че неравенството [tex]t(2+\cos{t}) > 3\sin{t}[/tex] е вярно за [tex]t>0[/tex].

[BTK Strangler]

зад.34. Една и от мен, ако може:)

Триъгълникът АВС е вписан в окръжност. Ъглополовящата на ъгъл С пресича АВ в т. L, а описаната окръжност- в т.Р, като AL:LB=2:1
От точка Р е построен перпендикуляр към СВ, който пресича СВ в т.Т.
Да се намери отношението
СТ:СВ

ето и моето решение, макар и с малко закъснение чисто кандидат-студентско, без никакви построения
Нека AL=2s, BL=s, AC=2k и [tex]\fbox{BC=k}[/tex]
[tex]CL=\sqrt{2k^2-2s^2}\\<br>CL.LP=AL.BL \Leftrightarrow LP.\sqrt{2k^2-2s^2} = 2s^2 \Leftrightarrow LP=\frac{2s^2}{\sqrt{2k^2-2s^2} }\\<br>CP=CL+LP=\sqrt{2k^2-2s^2}+\frac{2s^2}{\sqrt{2k^2-2s^2}} = \frac{2k^2}{\sqrt{2k^2-2s^2}}\\<br>\Delta CTB \vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{} CT=CP.cos(\frac{\gamma }{2 })\\<br>\Delta ABC\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{} cos\gamma = \frac{4k^2+k^2-9s^2}{ 4k^2}\\<br>\Rightarrow cos(\frac{\gamma }{ 2}) = \sqrt{\frac{1+cos\gamma }{2 } } = \sqrt{\frac{9k^2-9s^2}{ 8k^2} } = \frac{3\sqrt{2k^2-2s^2} }{ 4k}\\<br> \Rightarrow CT=\frac{2k^2}{\sqrt{2k^2-2s^2}}*\frac{3\sqrt{2k^2-2s^2} }{ 4k} =\fbox{\frac{3k}{ 2}} \\<br> \Rightarrow\fbox{ \frac{CT}{ BC} = \frac{\frac{3k}{2 } }{k }= \frac{3}{ 2} }[/tex]

[0xdeadbeef]

(3т.)Задача 48. В [tex]\triangle ABC[/tex] е прекарана медианата [tex]CM[/tex], върху която е взета точка [tex]N[/tex], през която е прекарана права, минаваща през върxа [tex]A[/tex], до пресичането и със страната [tex]BC[/tex] в точката [tex]D[/tex]. Точката [tex]N[/tex] e съединена с върxа [tex]B[/tex], така че лицето на [tex]\triangle BND[/tex] е [tex]5cm^2[/tex], а лицето на [tex]\triangle ANB[/tex] е [tex]25cm^2[/tex]. Намерете лицето на [tex]\triangle ABC[/tex].

[BTK Strangler]

(3т.)Задача 48. В [tex]\triangle ABC[/tex] е прекарана медианата [tex]CM[/tex], върху която е взета точка [tex]N[/tex], през която е прекарана права, минаваща през върxа [tex]A[/tex], до пресичането и със страната [tex]BC[/tex] в точката [tex]D[/tex]. Точката [tex]N[/tex] e съединена с върxа [tex]B[/tex], така че лицето на [tex]\triangle BND[/tex] е [tex]5cm^2[/tex], а лицето на [tex]\triangle ANB[/tex] е [tex]25cm^2[/tex]. Намерете лицето на [tex]\triangle ABC[/tex].

[tex]\frac{S_{BND}}{S_{ANB} } = \frac{1}{5 }\Rightarrow\frac{DN}{AN } = \frac{1}{5 } \\<br>[/tex].
От менелай за ▲ABD с права MC получаваме
[tex]\frac{CD}{DB } =\frac{1}{4 } \Leftrightarrow \frac{S_{ACD}}{S_{ABD} } = \frac{1}{4 }\\<br>\Rightarrow S_{ABC} = \frac{5S_{ABD}}{4 } = \frac{5.30}{4 } = 37.5cm^2[/tex]

[0xdeadbeef]

Някой да мисли по 47-ма?

[prodanov]

от 0 do \sqrt3 не ми излиза, а го проверявах бая пъти.

[BTK Strangler]

от 0 do \sqrt3 не ми излиза, а го проверявах бая пъти.

Да ударя едно рамо на prodanov При [tex]t=\frac{\sqrt{2} }{2 }[/tex] според неравенството излиза, че [tex]\sqrt{2}>2[/tex]

[strangerforever]

Задача 49

Даден е успоредник със страна [tex]a[/tex] и лице [tex]a^2[/tex]. Взети са средите на страните - [tex]M \in AB, N \in BC, P \in CD, Q \in AD[/tex]. Построени са отсечките AP, BQ, CM и DN. Да се намери лицето на четириъгълника с върхове пресечните точки на построените отсечки. (3 точки)

[0xdeadbeef]

...
Да ударя едно рамо на prodanov При [tex]t=\frac{\sqrt{2} }{2 }[/tex] според неравенството излиза, че [tex]\sqrt{2}>2[/tex]

Код: Избери целия код

; t=sqrt(2)/2
; t*(2+cos(t))
   ~1.95178767232570764612
; 3*sin(t)
   1.94891081724018733239
; t*(2+cos(t)) - 3*sin(t)
   ~0.00287685508552031373
;