ТУ - Сф

[Гост]

Диагоналът [tex]BD[/tex] на успоредник [tex]ABCD[/tex] е 3 cm, [tex]\angle BCD=45^\circ[/tex], а описаната около [tex]\Delta BCD[/tex] окръжност се допира до правата [tex]AB[/tex]. Лицето на успоредника [tex]ABCD[/tex] е?

Бихте ли помогнали.. сигурно е елементарна, но не се сещам..

[Гост]

Моля ви някой да ми обясни как стават тези задачи..

Да се намерят числата α , принадлежащи на интервала [tex](-\frac{5\pi }{2} ; \frac{9\pi }{2})[/tex] , за които [tex]cos^2\alpha +cos\alpha = 2[/tex].

[amsara]

Не знам дали са ми правилни сметките, но получих лице 9 cm^2.

[Гост]

Не знам дали са ми правилни сметките, но получих лице 9 cm^2.

Да, толкова е. Би ли дала решението.

[amsara]

Не знам дали са ми правилни сметките, но получих лице 9 cm^2.

Да, толкова е. Би ли дала решението.

След малко , че да направя и някакъв чертеж по-приличен.

[Гост]

Даден е правоъгълен паралелепипед с основа квадрат и обем [tex]8 cm^3[/tex]. Да се намери дължината на основен ръб, за която сборът от дължините на всички ръбове на паралелепипеда е най-малък.


Тази задача е толкова проста, че чак не ми се вярва. Дали са куб с обем 8 и питат колко е основният ръб [tex]a[/tex]...
Причината да я напиша тук е да не би да има някакво друго решение, което да е вярното, и пак да дава отговор [tex]a=2 cm[/tex]

[ganka simeonova]

Даден е правоъгълен паралелепипед с основа квадрат и обем [tex]8 cm^3[/tex]. Да се намери дължината на основен ръб, за която сборът от дължините на всички ръбове на паралелепипеда е най-малък.


Тази задача е толкова проста, че чак не ми се вярва. Дали са куб с обем 8 и питат колко е основният ръб [tex]a[/tex]...
Причината да я напиша тук е да не би да има някакво друго решение, което да е вярното, и пак да дава отговор [tex]a=2 cm[/tex]

Ок, как ще докажеш, че е куб? Напиши решението си.

[amsara]

area.png (7 KiB) Прегледано 541 пъти

[tex]\Delta BHC -[/tex] правоъгълен
[tex]\angle C=45 ^\circ => HBC=180-(90+45)=45 ^\circ => \Delta BHC -[/tex] равнобедрен
[tex]BH=HC=x => x^2+x^2=BC^2[/tex]
[tex]BC^2=2x^2=> BC=x\sqrt{2}[/tex]
Нека О е центърът на описаната около BCD окръжност.
[tex]\angle DCB=45^\circ[/tex] (вписан)
[tex]\angle DOB=2.45=90^\circ[/tex] (централен)
[tex]\angle ABD=\angle BDC[/tex] (кръстни)
[tex]\angle ABD -[/tex] периферен =>[tex]\angle ABD=\frac{90}{ 2}=45^\circ[/tex]
[tex]\Delta DBC -[/tex] равнобедрен
[tex]DH=HC=x=>DC=AB=2x[/tex]
[tex]DB=BC=3 => x\sqrt{2}=3 =>x=\frac{3}{\sqrt{2} }=\frac{3\sqrt{2} }{2 } => AB=3\sqrt{2}=CD[/tex]
[tex]S=CD.BH=3\sqrt{2}.\frac{3\sqrt{2} }{ 2} =9cm^2[/tex]

[Гост]

@ amsara Благодаря за решението Схванах как става.

Ок, как ще докажеш, че е куб? Напиши решението си.

Ами не мога.. така си мислех, че по условие правоъгълен паралелепипед + основа квадрат = куб

Тогава е имало 2 случая (така си мисля аз)
Първи: квадрата да е с страна a=1 , а околните ръбове да са 8 и така имат общ сбор 2.4+4.8=40cm
Втори: фигурата да е куб - всички ръбове са по 2 cm - 12.2=24cm

И следователно втория случай е верен за зададеното условие.

[amsara]

За да разглеждаш тези 2 случая с а=1 и а=2 не трябва ли да ти е казано в условието, че се търси цяла стойност на а? А това не ти е казано никъде.
AB=BC=CD=AD=A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=a
AA1=BB1=CC1=DD1=b, [tex]a, b >0[/tex]
[tex]V=AB.BC.BB_{1}=a^2b[/tex]
[tex]a^2b=8 =>b=\frac{8}{a^2 }[/tex]
Hека S е сумата от всички ръбове на паралелепипеда.
[tex]S=2.4a+4.b=8a+4b=8a+4.\frac{8}{a^2 }=8a+\frac{32}{a^2 }=\frac{8a^3+32}{a^2 }[/tex]
[tex]S=8.\frac{a^3+4}{a^2 }[/tex]
Интересува ни при коя стойност на а изразът [tex]\frac{a^3+4}{a^2 }=a+\frac{4}{a^2 }[/tex]приема най-малка стойност.
Май наистина минималната стойност на израза е 3 и е при a=2, но аз не мога да го докажа .

[inveidar]

[tex]a+\frac{4}{ a^{2}} =\frac{a}{ 2}+\frac{a}{ 2}+\frac{4}{ a^{2}}[/tex] и прилагаш неравенството между средно аритметично и средно геометрично за три числа.

[Xixibg]

Ами то за това се учат производни и изследване на функции.Не че не става и с неравенства ама.....

[amsara]

Ами то за това се учат производни и изследване на функции.Не че не става и с неравенства ама.....

Попитах, не защото не съм си учила материала, xixi. Септември ще бъда 10 клас и си нямам понятие от производни и изследване на функции. Но пък ми беше интересно как става номерът от там, докъдето го докарах , нататък. Благодаря , inveidar!

[Xixibg]

Диагоналът [tex]BD[/tex] на успоредник [tex]ABCD[/tex] е 3 cm, [tex]\angle BCD=45^\circ[/tex], а описаната около [tex]\Delta BCD[/tex] окръжност се допира до правата [tex]AB[/tex]. Лицето на успоредника [tex]ABCD[/tex] е?

Бихте ли помогнали.. сигурно е елементарна, но не се сещам..

Ето едно доста по-кратко рeшение :
Нека [tex]BH\bot CD ; H\in CD[/tex]
Нека [tex]O[/tex]е центъра на описаната около [tex]\triangle BCD[/tex] окръжност [tex]=>O[/tex] лежи на правата [tex]BH[/tex]
[tex]=>H[/tex] е среда на [tex]CD[/tex](Ако хорда в окръжността е перпендикулярна на диаметъра то пресечната им точка е среда на хордата)
[tex]=>\triangle BCD[/tex] е равнобедрен (медиана и височина съвпадат)[tex]=>BD=BC=3;=>\angle BCD=\angle CDB=45^\circ ; =>\angle DBC=90^\circ[/tex]
[tex]\triangle ABC,\triangle BCD[/tex] са еднакви [tex]=>S_{ABCD}=2S_{BCD}=2.\frac{3.3}{2}=9[/tex]

[amsara]

Вече на свеж акъл и с подсказаното ми от inveidar ще продължа задачата за паралелепипеда, който накрая се оказва куб.


Средно аритметично =[tex]\frac{a^3+4}{3a^2 }[/tex]
По-трудно ми беше със средно геометричното. Не точно трудно, а неясно как става.Но и тук помогна форумът.Средно геометрично =1
=>[tex]\frac{a^3+4}{3a^2 } \ge 1 <=> a^3-3a^2+4 \ge 0[/tex]
[tex]a^3+1+3-3a^2 \ge 0 <=> (a+1)(a^2-a+1)-3(a-1)(a+1)\ge 0[/tex]
[tex](a+1)(a^2-a+1-3a+3) \ge 0 <=> (a+1)(a^2-4a+4) \ge 0 <=> (a+1)(a-2)^2 \ge 0[/tex]
[tex]a \in [-1; +\infty )[/tex]
Най-малката стойност вляво е 0 при a=2 или a=-1. Второто не става, защото е отрицателно число.
[tex]=>a=2; V=2.2.b; b=8:4=2 cm => a=b =>[/tex] фигурата е куб.
Нещо такова би трябвало да е.

[Гост]

Много си добра! Благодаря!

Помощ за новата задача:
[tex]cos \frac{(\alpha +\beta )}{2}[/tex], ако [tex]cos(\alpha -\frac{\beta }{2})=\frac{1}{9}[/tex], [tex]sin(\frac{\alpha }{2}-\beta )=\frac{2}{3}[/tex] [tex]0<\alpha -\frac{\beta }{2}<\frac{\pi }{2}[/tex] и [tex]0<\frac{\alpha }{2}-\beta <\frac{\pi }{2}[/tex]

[tex]cos\frac{(\alpha + \beta )}{2}[/tex] - това е алфа + бета, цялото делено на две. Нещо Латекса не иска да напише ф-лата

[inveidar]

Много си добра! Благодаря!

Помощ за новата задача:
[tex]cos (\frac{\alpha +\beta }{2})[/tex], ако [tex]cos(\alpha -\frac{\beta }{2})=\frac{1}{9}[/tex], [tex]sin(\frac{\alpha }{2}-\beta )=\frac{2}{3}[/tex], [tex]0<\alpha -\frac{\beta }{2}<\frac{\pi }{2}[/tex] и [tex]0<\frac{\alpha }{2}-\beta <\frac{\pi }{2}[/tex]

[strangerforever]

Вече на свеж акъл и с подсказаното ми от inveidar ще продължа задачата за паралелепипеда, който накрая се оказва куб.


Средно аритметично =[tex]\frac{a^3+4}{3a^2 }[/tex]
По-трудно ми беше със средно геометричното. Не точно трудно, а неясно как става.Но и тук помогна форумът.Средно геометрично =1
=>[tex]\frac{a^3+4}{3a^2 } \ge 1 <=> a^3-3a^2+4 \ge 0[/tex]
[tex]a^3+1+3-3a^2 \ge 0 <=> (a+1)(a^2-a+1)-3(a-1)(a+1)\ge 0[/tex]
[tex](a+1)(a^2-a+1-3a+3) \ge 0 <=> (a+1)(a^2-4a+4) \ge 0 <=> (a+1)(a-2)^2 \ge 0[/tex]
[tex]a \in [-1; +\infty )[/tex]
Най-малката стойност вляво е 0 при a=2 или a=-1. Второто не става, защото е отрицателно число.
[tex]=>a=2; V=2.2.b; b=8:4=2 cm => a=b =>[/tex] фигурата е куб.
Нещо такова би трябвало да е.

Малко си се престарала вече, но браво.

[tex]\frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{4}{a^2} \le 3[/tex] от AM-GM

Равенство се достига, когато всички числа са равни, т.е. [tex]\frac{a}{2} = \frac{4}{a^2} \Rightarrow a = 2[/tex]