Конкурсна тема

[baroveca]

За задача 4 получавам,че b=3, a=+-2?

Трябва да е растяща аритметична прогресия!

значи b=3 и a=-2 са решенията. не съобразих,че се искаше растяща прогресия..
Ясно е,че [tex]x_1+x_2=-2a,x_1*x_2=b[/tex]
[tex]y_1+y_2=-3a, y_1*y_2=2b+2[/tex] За да образуват числата аритметична прогресия ,то трябва [tex]2y_1=x_1+x_2[/tex],
[tex]2x_2=y_1+y_2[/tex] От първото и второто равенства лесно се намира,че [tex]y_1=-a,y_2=-2a,x_1=-\frac{3}{ 2} a,x_1=-\frac{a}{ 2}[/tex] Съставяме си системата от произведенията на корените на двете уравнения в условието и получаваме уравненията в системата- [tex]2a^2=2b+2,3a^2=4b[/tex] Решаваме системата от двете уравнения и получаваме,че b=3, a=+-2, от които само a=-2 е решение. Окончателно получаваме,че a=-2, b=3
ПП- тази задача съм я срещал и преди..даваха я на Видинско или Димитровградско състезание мисля,че беше..

[Mr.G{}{}Fy]

6.[tex]\angle BAC=2x[/tex]
[tex]\angle ABC=2y[/tex]
[tex]\angle BCA=2n[/tex]
[tex]===> n+x+y=90^\circ[/tex]
[tex]\angle ABP=y[/tex]
[tex]\angle BAP=x[/tex]
[tex]\angle APB=180^\circ -(x+y)=90^\circ +n=\angle LPN[/tex]
от това,че [tex]LPNC[/tex] вписан [tex]===> \angle LPN+LCN=180^\circ[/tex]
[tex]90^\circ +n+2n=180^\circ ===> n=30^\circ[/tex]
[tex]===> BCA =60^\circ[/tex] и тъй като е най-големият ъгъл (тъй като лежи срещу най-голямата страна) ===> [tex]\Delta ABC[/tex] равностранен ==> остроъгълен

[strangerforever]

6.[tex]\angle BAC=2x[/tex]
[tex]\angle ABC=2y[/tex]
[tex]\angle BCA=2n[/tex]
[tex]===> n+x+y=90^\circ[/tex]
[tex]\angle ABP=y[/tex]
[tex]\angle BAP=x[/tex]
[tex]\angle APB=180^\circ -(x+y)=90^\circ +n=\angle LPN[/tex]
от това,че [tex]LPNC[/tex] вписан [tex]===> \angle LPN+LCN=180^\circ[/tex]
[tex]90^\circ +n+2n=180^\circ ===> n=30^\circ[/tex]
[tex]===> BCA =60^\circ[/tex] и тъй като е най-големият ъгъл (тъй като лежи срещу най-голямата страна) ===> [tex]\Delta ABC[/tex] равностранен ==> остроъгълен

?!

[Mr.G{}{}Fy]

6.[tex]\angle BAC=2x[/tex]
[tex]\angle ABC=2y[/tex]
[tex]\angle BCA=2n[/tex]
[tex]===> n+x+y=90^\circ[/tex]
[tex]\angle ABP=y[/tex]
[tex]\angle BAP=x[/tex]
[tex]\angle APB=180^\circ -(x+y)=90^\circ +n=\angle LPN[/tex]
от това,че [tex]LPNC[/tex] вписан [tex]===> \angle LPN+LCN=180^\circ[/tex]
[tex]90^\circ +n+2n=180^\circ ===> n=30^\circ[/tex]
[tex]===> BCA =60^\circ[/tex] и тъй като е най-големият ъгъл (тъй като лежи срещу най-голямата страна) ===> [tex]\Delta ABC[/tex] равностранен ==> остроъгълен

?!

Объркал ли съм нещо?

[strangerforever]

Защо да е равностранен?

[Mr.G{}{}Fy]

Защо да е равностранен?

Ами принципно буквално погледнато ако АВ е най-голяма то не съществува такъв триъгълник според мен,но тук според мен се пита за равностранен ...
А иначе,ако приемем,че АВ[tex]\ge[/tex] на някоя друга страна ние имаме,че ъгълът срещу най-голямата страна (или равна надругите) е 60 градуса т.е. другите ъгли не могат да надминават 60 градуса и единственият вариант е равностранни триъгълник,тъй като ако другите ъгли са по малки от 60 градуса сборът на 3-те вътрешни ъгъла на триъгълника ще е по-малък от 180 градуса Може и да греша

[inveidar]

За задача 5 я пак провери ? Сигурен ли си,че е само това?

Ами не е ли достатъчно условието [tex]x_1\le x_2<0[/tex]

Ами не е достатъчно, защото квадратният тричлен може и да няма реални корени и точно от там се получава по-голямата част от решенията! Я напиши цялото решение и тогава ще спорим.

[Mr.G{}{}Fy]

Точно за това говорех и аз,но тук решенията се препокриват т.е. когато провери D<0 и D=0 решенията май бяха същите като неговите,но ако задачата беше друга най-вероятно нямаше отговорът да е пълен и затова с дадената задача може да я решиш непълно,а да получиш крайния отговор Но той е направил грешката според мен не от незнание,а от неправилно разбрано условие ... Естествено това е мое мнение

[prodanov]

10) x != -1
[tex]b)f'(x) = \frac{a-2}{(x+1)^2} + \frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}\\
f'(1) = \frac{a+4}4\\
g(a) = \frac12\sqrt{a+4- 4a^2}\\
a_0 = \frac18\\
g(a)_{max} = \frac18\sqrt{65}[/tex]


[tex]a)2 + \sqrt{3x^2+1} = x^2-7\\
x^2 - 9 = \sqrt{3x^2+1} \uparrow\vspace{} D(x):x \notin (-3,3)\\
x^4 - 18x^2 + 81 = 3x^2 + 1\\
x^4 - 21x^2 + 80 = 0\\
x_{1/2} = \pm\sqrt5 \notin D(x)\\x_{3/4}=\pm4[/tex]

[inveidar]

Точно за това говорех и аз,но тук решенията се препокриват т.е. когато провери D<0 и D=0 решенията май бяха същите като неговите,но ако задачата беше друга най-вероятно нямаше отговорът да е пълен и затова с дадената задача може да я решиш непълно,а да получиш крайния отговор Но той е направил грешката според мен не от незнание,а от неправилно разбрано условие ... Естествено това е мое мнение

Случая, който той е разгледал, т.е [tex]D\ge 0[/tex], би трябвало да му даде само решението [tex]a=-\frac{1}{ 2}[/tex].
Явно не е засякъл правилно интервалите и затова така. Може би не е написал и че при неговия случай дискриминантата трябва де е неотрицателна. Знам ли.

[baroveca]

Сега като си видя сметките, виждам,че наистина не съм засякъл вярно....за което се извинявам..ами незнайно как съм получил отговора.. значи трябва да се добави и D<0, така ли? Тъй като аз бъркам, ако може inveidar да си напише решението, за да знам занапред как се решават такъв тип задачи.

[ganka simeonova]

Сега като си видя сметките, виждам,че наистина не съм засякъл вярно....за което се извинявам..ами незнайно как съм получил отговора.. значи трябва да се добави и D<0, така ли? Тъй като аз бъркам, ако може inveidar да си напише решението, за да знам занапред как се решават такъв тип задачи.

Баровец, просто Мисли!

[inveidar]

Сега като си видя сметките, виждам,че наистина не съм засякъл вярно....за което се извинявам..ами незнайно как съм получил отговора.. значи трябва да се добави и D<0, така ли? Тъй като аз бъркам, ако може inveidar да си напише решението, за да знам занапред как се решават такъв тип задачи.

Съжалявам, но в момента нямам време!

[strangerforever]

5 задача:

Нека [tex]f(x) = x^2 - (2a+1)x +a^2 - \frac{1}{4} > 0[/tex]


При [tex]D > 0 \Leftrightarrow a > -\frac{1}{2}[/tex]:

Понеже коефициентът пред старшата степен е положителен, необходимо и достатъчно условие [tex]x > 0[/tex] да е решение, е [tex]f(0) > 0[/tex] и [tex]\frac{2a + 1}{2} < 0[/tex]

[tex]f(0) > 0 \Leftrightarrow a^2 - \frac{1}{4} > 0 \Leftrightarrow a \in (-\infty;-\frac{1}{2} ) \cup (\frac{1}{2};\infty)[/tex]

[tex]\frac {2a + 1}{2} < 0 \Leftrightarrow a \in (-\infty; -\frac{1}{2})[/tex]

След пресичане получаваме [tex]a \in (-\infty; -\frac{1}{2})[/tex]

При [tex]D = 0 \Leftrightarrow a = -\frac{1}{2}[/tex] уравнението се превръща в:

[tex]x^2 > 0[/tex], което е вярно за всяко [tex]x \ne 0 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}[/tex] е решение.

При [tex]D < 0 \Leftrightarrow a \in (-\infty;-\frac{1}{2})[/tex] всяко x е решение [tex]\Rightarrow[/tex] e решение на задачата.

Окончателно решението е [tex]a \in (-\infty; -\frac{1}{2}][/tex]

[ganka simeonova]

A D<0 ?

[strangerforever]

done?

[Mr.G{}{}Fy]

5 задача:

Нека [tex]f(x) = x^2 - (2a+1)x +a^2 - \frac{1}{4} > 0[/tex]


При [tex]D > 0 \Leftrightarrow a > -\frac{1}{2}[/tex]:

Понеже коефициентът пред старшата степен е положителен, необходимо и достатъчно условие [tex]x > 0[/tex] да е решение, е [tex]f(0) > 0[/tex] и [tex]\frac{2a + 1}{2} < 0[/tex]

[tex]f(0) > 0 \Leftrightarrow a^2 - \frac{1}{4} > 0 \Leftrightarrow a \in (-\infty;-\frac{1}{2} ) \cup (\frac{1}{2};\infty)[/tex]

[tex]\frac {2a + 1}{2} < 0 \Leftrightarrow a \in (-\infty; -\frac{1}{2})[/tex]

След пресичане получаваме [tex]a \in (-\infty; -\frac{1}{2})[/tex]

При [tex]D = 0 \Leftrightarrow a = -\frac{1}{2}[/tex] уравнението се превръща в:

[tex]x^2 > 0[/tex], което е вярно за всяко [tex]x \ne 0 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}[/tex] е решение.

При [tex]D < 0 \Leftrightarrow a \in (-\infty;-\frac{1}{2})[/tex] всяко x е решение [tex]\Rightarrow[/tex] e решение на задачата.

Окончателно решението е [tex]a \in (-\infty; -\frac{1}{2}][/tex]

Специално в тази задача не може ли да разгледаме направо [tex]D\ge 0[/tex] ,тъй като,ако [tex]D=0[/tex],но [tex]Xo[/tex] е не там където трябва ще се премахне случая или греша?Питам от любопитство почти съм сигурен,че е вярно,но да питам за всеки случай ...Иначе и аз я реших по този начин просто,ако това е вярно спестява малко време може да е минута или по-малко,но ...

[strangerforever]

Не грешиш.

[prodanov]

Да, но и така става: [tex]D<0 \cup \begin t{|l}x_1x_2\ge0;\\x_1+x_2\le0\end{t}[/tex]

[inveidar]

[tex]D<0 \cup \begin t{|l}x_1x_2\ge0\\x_1+x_2\le0\\D\ge0 \end{t}[/tex]

[prodanov]

Като го няма се препокрива с условието в ляво.

[Mr.G{}{}Fy]

Като го няма се препокрива с условието в ляво.

И аз мисля така

[ganka simeonova]

Абе хора, препокрива се в тази задача, но в друга може и да не се препокрие.
Важно е е да напишете вярно смислово условията.

[v1rusman]

За 10-та и аз получих като prodanov (доста лесна 10-та между другото), на 8-ма получавам при [tex]x=\frac{ah}{ 2}, s=\frac{a^2h^2(2-h)}{ 2(a-b)}[/tex], но имам въпрос за 7 - това отношение 2:1 е MNCD:ABMN или ABMN:MNCD, защото има значение ? Възможно е задачата да изисква разглеждането на 2 случая, но може и просто в писането на задачата да не си обърнал внимание. Някой да реши 9-та ? Аз пробвах с вектори и не мога да си обясня защо не ми излиза.

[0xdeadbeef]

Няма грешка в условията, поне от моя страна!
На 8-ма задача аз получавам друго, първо [tex]x=\frac{a}{2}[/tex], което може и да съм объркал, но не това е важното, има още един случай който трябва да се разгледа. Относно 7-ма и аз мисля, че трябва да се разгледат два случая. Също така ще добавя, че на 10/(б) е коректно да се отбележи и ДМ на корен-а, защото в много случаи от него зависи и крайния отговор!