Показателно параметрично уравнение

[ganka simeonova]

Ф-та е показателна.
Ако е по логиката ти, trig, за кой ст-сти на а е дeфиниран

[tex]log_{\frac{1-a^2}{2a} }[/tex], например?

[trig]

Докато редактирам са се появили нови отговори. Ами Вие питате вече за съвсем друг израз. До отговор можете да стигнете и самостоятелно като се запитате се как се прави смяна на основата при логаритъм.

[strangerforever]

Има и други стойности на параметъра, при които уравнението има решения.
Ще опитам да обясня още веднъж. Ако сме фиксирали едно реално число [tex]a[/tex] и разглеждаме израз от вида [tex]a^x[/tex], то питаме за кои [tex]x[/tex] този израз има смисъл. Ако а>0, то можем да придадем смисъл на израза, за всяко реално число х. Ако а<0, то на израза [tex]a^x[/tex] можем да припишем реална стойност само ако x е цяло число, ако а=0, то [tex]a^x[/tex] има смисъл само ако х е положително рационално число.

[tex]0^{\sqrt{2}} = 0[/tex], или се бъркам?

[ganka simeonova]

Докато редактирам са се появили нови отговори. Ами Вие питате вече за съвсем друг израз. До отговор можете да стигнете и самостоятелно като се запитате се как се прави смяна на основата при логаритъм.

?
Смяна на основата? Кой пише за смяна на основата?

[inveidar]

[tex](-1)^{3}[/tex] съществува ли? Съществува. Затова като се решават такива уравнения или трябва да се напише в условието, че основата е положителна, или да се търсят и целите хиксове, когато основата е отрицателна. Между другото в учебника на Анубис тази тема е пълна боза. Ако сте забелязали, по изпити се избягват задачи, в които не е ясно дали основата е неотрицателна от самите изрази, които участват в уравнението или неравенството.

[Xixibg]

То по принцип определението за показателна функция е малко странно.
Ако разгледаме [tex]f(x)=1^x[/tex] или казано по друг начин f(x)=1 ,за всяко x.То това си е една съвсем реална функция , която по определение не съществува.......

[ganka simeonova]

Добре де, има ли разлика м/у показателната ф-я [tex]y=3^x[/tex]и ф-та [tex]y=x^x[/tex],например.

[Xixibg]

Та и аз мисля ,че в тази задачка трябва да се добави ,че за [tex]a=1[/tex]всяко [tex]x[/tex] е решение.

за [tex]a=-1[/tex] всяко четно[tex]x[/tex] е решение.

[ganka simeonova]

То по принцип определението за показателна функция е малко странно.
Ако разгледаме [tex]f(x)=1^x[/tex] или казано по друг начин f(x)=1 ,за всяко x.То това си е една съвсем реална функция , която по определение не съществува.......

Ф-та си съществува, но по определение, не е показателна.

[Xixibg]

По дефиниция за функция:
Дадени са множества А и В .За всяка стойност на [tex]x\in A[/tex] съществува стойност[tex]y=f(x)\in B[/tex]
тогава казваме че y е функция на x.

А в задачата никъде не е написано че е показателна (освен в заглавието на темата де....)

[ganka simeonova]

По дефиниция за функция:
Дадени са множества А и В .За всяка стойност на [tex]x\in A[/tex] съществува стойност[tex]y=f(x)\in B[/tex]
тогава казваме че y е функция на x.

А в задачата никъде не е написано че е показателна (освен в заглавието на темата де....)

Е, анджък, де! Значи?

[ganka simeonova]

По дефиниция за функция:
Дадени са множества А и В .За всяка стойност на [tex]x\in A[/tex] съществува стойност[tex]y=f(x)\in B[/tex]
тогава казваме че y е функция на x.

Не е коректно!

[Xixibg]

Да се реши уравнението

[tex](\frac{1-a^2}{2a } )^x+1=(\frac{1+a^2}{ 2a} )^x[/tex], [tex]a\ne 0[/tex]

Това е уравнение а не показателна функция и то има решение за всяко х при а=1

[ganka simeonova]

За всяка стойност на х съществува единствена стойност на у, така че
[tex]y=f(x)[/tex]

[ganka simeonova]

Ти сам каза- написано е
показателно параметрично уравнение.

[Xixibg]

Извинявай не се заяждам ,а просто констатирам че определението за показателна функция не е много добро.... ама не сме го измислили ние .Между другото до сега не се бях и замислял.

[ganka simeonova]

И аз не се заяждам, даже ми е интересно. Защо си мислиш, че определението за пок. ф-я не е добро?

[Xixibg]

То си е добро, но като напишеш:

Да се реши уравнението

[tex](\frac{1-a^2}{2a } )^x+1=(\frac{1+a^2}{ 2a} )^x[/tex], [tex]a\ne 0[/tex]

това не е показателна функция или поне никъде не пише!

Просто определението е обвързващо тъй като се отнася до функция с допълнителни условия.

[atnast]

Да се реши уравнението

[tex](\frac{1-a^2}{2a } )^x+1=(\frac{1+a^2}{ 2a} )^x[/tex], [tex]a\ne 0[/tex]

Това е уравнение а не показателна функция и то има решение за всяко х при а=1

Не съм съгласен, че всяко х е решение, х=0 не е, защото се получава [tex]0^{0}[/tex].

[Xixibg]

Благодаря
приемам забележката.
Въпросът е дали трябва да изследваме при[tex]a=\pm 1[/tex] или не

[ganka simeonova]

Какво е написано в заглавието?

[Xixibg]

Ами ако някой пропусне да го прочете или забрави какво пише.Тогава започва да решава друга задача
Ето това не му харесвам на определението за показателна функция

[ganka simeonova]

Дали ти харесва или не, показателната ф-я си е ясно дефинирана.

[atnast]

Ето го и моето решение.
Ясно е, че всяла пок. ф-я реябва да е пол. число, различно от 1, т.е. [tex]a\in (0; 1)[/tex].
Да разделим двете страни на у-то на
[tex](\frac{1+a^2}{2a} )^x[/tex]. Тогава=> [tex](\frac{1-a^2}{1+a^2} )^x+(\frac{2a}{1+a^2} )^x=1[/tex]

Това начало има и друг завършек: лявата страна на уравнението е намаляваща функция, като сбор на две намаляващи функции ( [tex]0<1-a^{2}<1+a^{2}[/tex] и [tex]0<2a<1+a^{2}[/tex] ). Понеже дясната страна на уравнението е константа, то уравнението може да има най-много едно решение. Очевидно х=2 е решение, следователно е единствено.

Задачата е в раздел "Кандидат-студентски изпити по математика за прием във ВУЗ". На такъв изпит няма нещо като "заглавие", там например в условието си е написано ограничение, така че да е добре дефинирана показателната функция. Ако не е написано, както тук, май единственото друго, което можем да направим е да разгледаме специалните основи 1;0;-1 или поне аз така си мисля.

[trig]

Както изглежда темата се заформи малко в дефиниционни спорове, но бедата е, че никой не посочи конкретна дефиниция.
В действителност можем да дефинираме нула на положителна реална степен просто като положим 0 и толкоз. Солта на въпроса е обаче, как дефинираме [tex]a^x[/tex] при а≠0 и за кои x израза има смисъл?

Колкото до въпроса на Ганка. В природата има една показатлена функция и един логаритъм, който се явява нейната обратна функция. Това са функциите експонента и натурален логаритъм. Всички останали показателни функции и логаритми се получават от тях съвсем елементарно. Правилната дефиниция на показателната функция за а>0 и реални х, най-грубо казано, на база аксиомите за поле, наредба и непрекъснатост на реалните числа, и понятието граница, е следната [tex]a^x=e^{x\ln a}[/tex], [tex]\log_ax=\frac{\ln x}{\ln a}[/tex], ето тук, госпожа Ганка се крие отговора на въпроса Ви. За да намерите къде е дефиниран вашия израз, вижте дясната страна на дефиниционното равенство за логаритъм. Разбира се за да стигнем до тези дефиниции на база аксиомите за наредено поле с принцип за непрекъснатост има не малко труд, но истината за показателната функция и логаритмите е тази.

Сега на другия въпрос по темата. Вие имате едно уравнение, което зависи от стойностите на някакъв параметър. На практика, да се реши едно параметрично уравнение, значи да решим едновременно цял клас от уравнения, чиято структура силно може да зависи от стойностите на параметъра. В този смисъл, като полагате различни стойности на параметъра, получавате за всяка стойност по едно конкретно уравнение. Като сте получили уравнение, за някоя стойност на параметъра, вие търсите първо стойностите на неизвестното, при които уравнението има смисъл, след което пристъпвате към неговото решаване. В даденото уравнение при a=-1, например, вие получавате уравнението [tex](-1)^x=1[/tex] и сега питате. За кои х това уравнение има смисъл? Отговор, само за целите числа, очевидно. Кои са негови решения? Отговор, четните числа.

С полагането, което ви предложих, вие просто преобразувате биективно множеството, в което се изменя параметъра [tex]a[/tex], а именно реалните числа без 0, в друго множество - интервала (-п,п) без 0. В резултат на това уравнението също се измени, то стана по-просто и по-обозримо.
Оттук нататък прилагаме подхода за решаване на параметрични уравнения, а именно виждаме какви уравнения получаваме за х, когато меним t в посоченото множество и ги решаваме, за съответните им допустими стойности.
При -п<t<п, без точките -п/2, 0, п/2, решението е х=2, при t=-п/2 , четните х са решения, при t=п/2 всички x без 0 са решения.