Кандидат-студентски задачи

[Martin Nikovski]

49.

Чертеж.

Drawing.jpg (18.27 KiB) Прегледано 1702 пъти

Нека [tex]BQ \cap CM=E[/tex], [tex]CM \cap DN=F[/tex], [tex]AP \cap DN=G[/tex] и [tex]AP \cap BQ=H[/tex].
Тогава търсим [tex]S_{EFGH}[/tex].
[tex]AB=CD=a[/tex], [tex]AD=BC=b[/tex], [tex]\angle BAD=\angle BCD=\alpha[/tex]
[tex]S_{ABCD}=AB.AD.sin\angle BAD=absin\alpha[/tex]
[tex]S_{ABCD}=a^2\ \Rightarrow\ \fbox{absin\alpha =a^2}[/tex]

[tex]\Delta ABQ \simeq \Delta CDN[/tex] - еднакви по първи признак. Тогава [tex]\angle ABQ=\angle CDN[/tex].
Следователно [tex]BQ\=DN[/tex].
[tex]\Delta BCM \simeq \Delta DAP[/tex] - еднакви по първи признак. Тогава [tex]\angle BCM=\angle DAP[/tex].
Следователно [tex]CM\=AP[/tex].
От доказаните успоредни прави: [tex]\angle GPD=\angle EMB[/tex] и [tex]\angle FNC=\angle HQA[/tex].
[tex]\Delta EMB \simeq \Delta GPD[/tex] и [tex]\Delta FNC \simeq \Delta HQA[/tex] - еднакви по втори признак.

Нека [tex]S_{\Delta EMB}=S_{\Delta GPD}=S_1[/tex] и [tex]S_{\Delta FNC}=S_{\Delta HQA}=S_2[/tex].
[tex]S_{\Delta ABQ}=S_{\Delta CDN}=\frac{AB.AQ.sin\angle BAQ}{2 } =\frac{a.\frac{b}{2 }.sin\alpha }{2 }=\frac{absin\alpha}{4 } =\frac{a^2}{4 }[/tex]
[tex]S_{\Delta BCM}=S_{\Delta DAP}=\frac{BC.BM.sin\angle MBC}{2 } =\frac{b.\frac{a}{2 }.sin\ \left(180^\circ -\alpha \right) }{2 }=\frac{absin\alpha}{4 } =\frac{a^2}{4 }[/tex]
[tex]S_{\Delta ABQ}+S_{\Delta CDN}+S_{\Delta BCM}+S_{\Delta DAP}=\frac{a^2}{4 }+\frac{a^2}{4 }+\frac{a^2}{4 }+\frac{a^2}{4 }=a^2=S_{ABCD}[/tex]
Тогава [tex]S_{EFGH}[/tex] е всъщност сборът от лицата на "повтарящите се" [tex]\Delta EMB[/tex], [tex]\Delta GPD[/tex], [tex]\Delta FNC[/tex] и [tex]\Delta HQA[/tex].
[tex]S_{EFGH}=S_1+S_1+S_2+S_2=2\left(S_1+S_2\right)[/tex]

[tex]\Delta GDP\sim \Delta FDC[/tex] - подобни по първи признак. Следователно [tex]\frac{S_{\Delta GDP}}{S_{\Delta FDC } }=\left(\frac{PD}{CD}\right)^2=\left(\frac{1}{2 }\right)^2=\frac{1}{4}[/tex]
[tex]S_{\Delta FDC}=4S_{\Delta GDP}=4S_1[/tex]
[tex]S_{\Delta FDC}+S_{\Delta FNC}=S_{\Delta CDN}[/tex]
[tex]4S_1+S_2=\frac{a^2}{4 } \ \Rightarrow\ \fbox{S_2=\frac{a^2}{4}-4S_1}[/tex]
[tex]\Delta FNC\sim \Delta EBC[/tex] - подобни по първи признак. Следователно [tex]\frac{S_{\Delta FNC}}{S_{\Delta EBC } }=\left(\frac{NC}{BC}\right)^2=\left(\frac{1}{2 }\right)^2=\frac{1}{4}[/tex]
[tex]S_{\Delta EBC}=4S_{\Delta FNC}=4S_2[/tex]
[tex]S_{\Delta EBC}+S_{\Delta EMB}=S_{\Delta BCM}[/tex]
[tex]4S_2+S_1=\frac{a^2}{4 } \ \Rightarrow\ 4\left(\frac{a^2}{4}-4S_1\right)+S_1=\frac{a^2}{4}[/tex]
[tex]a^2-16S_1+S_1=\frac{a^2}{4}[/tex]
[tex]15S_1=\frac{3a^2}{4}\ \Rightarrow\ \fbox{S_1=\frac{a^2}{20 }}[/tex]
[tex]S_2=\frac{a^2}{4}-4S_1=\frac{a^2}{4}-4.\frac{a^2}{20 } =\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{5 }=\frac{a^2}{20 }[/tex]
[tex]\fbox{S_1=S_2=\frac{a^2}{20}}\ \Rightarrow\ S_{EFGH}=2\left(S_1+S_2\right)=2\left(\frac{a^2}{20}+\frac{a^2}{20}\right)=\frac{a^2}{5 }[/tex]

[0xdeadbeef]

(4т.) Задача 50. Дадено е уравнението [tex]x^3 + nx -3n=0[/tex], където параметърът [tex]n[/tex] е естествено число. Да се докаже, че уравнението има единствен реален корен, и да се намерят всички стойности на [tex]n[/tex], за които този корен е цяло число.

[int]

(5т.)Задача 47. Докажете, че неравенството [tex]t(2+\cos{t}) > 3\sin{t}[/tex] е вярно за [tex]t>0[/tex].

Видях че има известни разногласия, затова реших да се включа. Неравенството е вярно. Въвеждаме функцията
[tex]f(t)=t(2+\cos{t})-3\sin{t}.[/tex] Трябва да докажем, че [tex]f(t)>0[/tex] за всички t>0. От ограничеността на тигонометричните функции имаме, че [tex]f(t)\ge t-3>0[/tex] за t>3. За 0<t≤3, с непосредствено пресмятане намираме [tex]f'''(t)=t\sin t>0[/tex] за всички t от интервала (0, 3]. Оттук виждаме, че f'' расте строго в разглеждания интервал, и значи 0=f''(0)<f''(t). Това на свой ред влече, че f' расте строго, откъдето получаваме 0=f'(0)<f'(t). Оттук f расте строго и значи 0=f(0)<f(t), което искахме да докажем.

[BTK Strangler]

(4т.) Задача 50. Дадено е уравнението [tex]x^3 + nx -3n=0[/tex], където параметърът [tex]n[/tex] е естествено число. Да се докаже, че уравнението има единствен реален корен, и да се намерят всички стойности на [tex]n[/tex], за които този корен е цяло число.

[tex]f'(x) = 3x^{2}+n>0[/tex]=> има само 1 реален корен;
След 10 мин пробване и гледане ми щъкна теоремата на Болцано мисля беше и излезе, че
[tex]f(1) = 1-2n[/tex] оттука n>=1 т.e. f(1)<0; но
[tex]f(3) = 27-3n+3n=27>0[/tex] т.е. тоя корен е в (1;3). Единственото цяло число е 2. Смятаме f(2) и намираме, че [tex]\fbox{n=8}[/tex]

[ganka simeonova]

(4т.) Задача 50. Дадено е уравнението [tex]x^3 + nx -3n=0[/tex], където параметърът [tex]n[/tex] е естествено число. Да се докаже, че уравнението има единствен реален корен, и да се намерят всички стойности на [tex]n[/tex], за които този корен е цяло число.

Аз понеже не разбирам от производни и гледам да ги приложа в краен случай, ще напиша още едно решение.
Ясно е, че х=3 и х=0 не могат да са решения. Да разделим у-то на х-3 и да изразим n след лека заигравка с формулите за съкратено умножение=>

[tex]n=-(x^2+3x+9)+\frac{27}{3-x }[/tex]
Понеже [tex]-(x^2+3x+9)<0; x\in (-\infty ; +\infty )=>[/tex]за да бъде n естествено, трябва [tex]3-x>0=>x<3[/tex].
Освен това трябва [tex]3-x[/tex] да дели n.
Eдинственото число, отговорящо на тези две условия е [tex]x=2=>n=8[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Аз реших задача така : [tex]n=\frac{x^3}{ 3-x}[/tex] Като дясното нещо е положително при [tex]x\in (0;3)[/tex]
Хикситата,които са в този интервал са 1 и 2 като с директна проверка установяваме,че само 2 е решение ... Надявам се да не бъркам някъде

[ganka simeonova]

Аз реших задача така : [tex]n=\frac{x^3}{ 3-x}[/tex] Като дясното нещо е положително при [tex]x\in (0;3)[/tex]
Хикситата,които са в този интервал са 1 и 2 като с директна проверка установяваме,че само 2 е решение ... Надявам се да не бъркам някъде

, браво, аз съм мега сбъркана. Разбира се, че това е най-готиното решение

[0xdeadbeef]

Ако имате задачи пускайте! Aз нямам за момента.

[strangerforever]

Задача 51

Окръжност [tex]k_1[/tex] с радиус 17 пресича друга окръжност [tex]k_2[/tex] с радиус 25 в точки A и B. Разстоянието между центровете на двете окръжности е 28. Нека N е такава точка на [tex]k_2[/tex], че средата M на хордата AN лежи на [tex]k_1[/tex]. Да се намери AN. (5 точки)

Задача 52

Нека f(x) е строго растяща функция, дефинирана за [tex]x > 0[/tex]. Ако [tex]f(x) > -\frac{1}{x}[/tex] и [tex]f(x)f(f(x)+\frac{1}{x}) = 1[/tex] за всяко[tex]x > 0[/tex], намерете [tex]f(1)[/tex]. (5 точки)

[baroveca]

Задача 53 Определете тези стойности на [tex]\alpha \in[0;180^\circ][/tex], за които квадратното уравнение [tex]2cos^2\alpha .x^2-4cos\alpha .x+4cos^2\alpha -1=0[/tex] има два различни реални корена. 5 точки

[Martin Nikovski]

[tex]2cos^2\alpha .x^2-4cos\alpha .x+4cos^2\alpha -1=0[/tex]
За да има два различни реални корена: [tex]D>0[/tex].
[tex]\left(2cos\alpha\right)^2-2cos^2\alpha \left(4cos^2\alpha -1\right)>0[/tex]
[tex]2cos^2\alpha \left(2-4cos^2\alpha +1\right)>0[/tex]
[tex]2cos^2\alpha \left(3-4cos^2\alpha \right)>0[/tex] [tex]/:2[/tex]
[tex]4cos^2\alpha\left(\frac{3}{4 } -cos^2\alpha \right)>0[/tex] [tex]/:4[/tex]
[tex]cos^2\alpha \left(\frac{\sqrt3}{2}-cos\alpha \right)\left(\frac{\sqrt3}{2}+cos\alpha \right)>0[/tex]
Изразът в лявата страна приема стойност [tex]0[/tex] при [tex]cos\alpha =0[/tex] и [tex]cos\alpha =\pm \frac{\sqrt3}{2}[/tex]
С метода на интервалите: [tex]cos\alpha\in\left(-\frac{\sqrt3}{2};0\right)\ \cup\ \left(0;\frac{\sqrt3}{2}\right)[/tex]
Тъй като [tex]\alpha \in\left[0^\circ;180^\circ \right][/tex], то решението на неравенството е [tex]\alpha \in \left(30^\circ ;90^\circ\right)\ \cup\ \left(90^\circ;150^\circ\right)[/tex]
П.П. За да има два различни реални корена, е необходимо и коефициентът пред [tex]x^2[/tex] да е [tex]\ne 0[/tex].
В случая това условие се удовлетворява от решенията на неравенството...

[BTK Strangler]

Задача 53 Определете тези стойности на [tex]\alpha \in[0;180^\circ][/tex], за които квадратното уравнение [tex]2cos^2\alpha .x^2-4cos\alpha .x+4cos^2\alpha -1=0[/tex] има два различни реални корена. 5 точки

1сл. [tex]cos^2\alpha=0\Leftrightarrow cos\alpha =0\Leftrightarrow \alpha =90^\circ[/tex]. Tогава у-то става линейно и няма да изпулнява исканото условие.
2сл.α≠[tex]90^\circ[/tex]. пишем cos=t за по-лесно
[tex]2t^2 .x^2-4t.x+4t^2-1=0[/tex] За да имаме два различни реални корена е достатъчно Д>0
[tex]D=(2t)^2-2t^2(4t^2-1)>0\\<br>4t^2-8t^4+2t^2=-2t^2(4t^2-3)>0[/tex] Тук t=0 не е решение, но се препокрива с 1сл.
Остава [tex]4t^2-3<0 \Leftrightarrow t=cos\alpha \in (-\frac{\sqrt{3} }{ 2};\frac{\sqrt{3} }{2 })[/tex] т.е. [tex]\alpha \in (30^\circ ;150^\circ )[/tex]
Краен отговор: [tex]\fbox{\alpha \in (30^\circ ;90^\circ )\cup (90^\circ ;150^\circ )}[/tex]

[0xdeadbeef]

Задача 51

Въвеждаме следните означения [tex]O_1A =r_1; O_2A=r_2; O_1O_2 = d; \angle O_1 A O_2 = \gamma; AN = q;[/tex]

[tex]\triangle O_1 O_2 A[/tex] : [tex]\cos{\gamma} = \frac{r_{1}^{2}+ r_{2}^{2} - d^2}{2 r_1.r_2} = \frac{13}{85}[/tex], понеже [tex]\frac{13}{85}>0[/tex] то [tex]\gamma < 90^\circ[/tex] и [tex]\sin{\gamma} = \sqrt{1 - \cos^2{\gamma}}=\frac{84}{85}[/tex].
Нека [tex]O_1E || O_2M(E\in O_2A)[/tex] и [tex]O_1E \cap AN = C[/tex], тогава [tex]O_1E \perp AN;AC=\frac{1}{4}q[/tex] и [tex]AE=\frac{1}{2}r_2[/tex]

[tex]\triangle O_1EA[/tex] : [tex](O_1E)^2 = r_{1}^{2} + (\frac{r_2}{2})^2 - r_1r_2\cos{\gamma} = (\frac{39}{2})^2[/tex], от тук [tex]O_1E = \frac{39}{2}[/tex]

[tex]S_{\triangle O_1EA} = \frac{r_1r_2}{4}\sin{\gamma} = \frac{O_1E.d}{8}=105[/tex], от където [tex]\fbox{AN=d=\frac{560}{13}}[/tex]

[0xdeadbeef]

stats_nw5.jpg (14.08 KiB) Прегледано 2030 пъти

За решенията на задача 34 съм дал по 5т.
За решенията на задача 43 съм дал по 1,5т. за всяка подточка (понеже за двете бяха 3).

[baroveca]

Задача 54
Да се намерят всички стойности на параметъра m , за които неравенството [tex](m-1)x^2+(2m-3)x+m-3>0, (m \ne 1)[/tex] е изпълнено за поне една стойност на [tex]x<1[/tex] 3 точки

Задача 55
Да се намерят всички стойности на параметъра m, при които неравенството [tex](m+2)x^2-4x+3m+7>0, (m\ne-2)[/tex] е изпълнено за всяко x>0. 5 точки.

[prodanov]

Задача 54
Да се намерят всички стойности на параметъра m , за които неравенството [tex](m-1)x^2+(2m-3)x+m-3>0, (m \ne 1)[/tex] е изпълнено за поне една стойност на [tex]x<1[/tex] 3 точки

Задача 55
Да се намерят всички стойности на параметъра m, при които неравенството [tex](m+2)x^2-4x+3m+7>0, (m\ne-2)[/tex] е изпълнено за всяко x>0. 5 точки.

[tex]f(x) = (m+2)x^2-4x+3m+7>0;\\
\begin{t}{|l}D<0\\m>-2\end{t} \cup \begin{t}{|l}m>-2\\D\ge0\\f(0) \ge 0;\\x_0\le0\end{t}\\
m \in (-1, +\infty)[/tex]

втората няма решение.

54. при m>1 е изпълнено, при m<1 графиката е вдлъбната, от където и [tex]D \ge 0[/tex] задължително тр'яя да е изпъленено(изпъленено [tex]\forall m[/tex]).

[tex]x_0 \le 1 \cup \begin{t}{|l}x_0>1\\f(1)>0\end{t}[/tex]

няма решение?

[Martin Nikovski]

54. [tex]m\in \left(\frac{3}{4};1\right)\ \cup\ \left(1;+\infty\right)[/tex]

[baroveca]

54. [tex]m\in \left(\frac{3}{4};1\right)\ \cup\ \left(1;+\infty\right)[/tex]

Да.

[prodanov]

Втория интервал ясно, а първия как го получи?

[Martin Nikovski]

Ами.. намирам [tex]D=4m-3[/tex] и оттам за да е [tex]>0[/tex], трябва [tex]D>0[/tex], т.е. [tex]m>\frac{3}{4}[/tex].
Непосредствено се проверява, че [tex]D=0[/tex] не удовлетворява условието.

[0xdeadbeef]

(4т.) Задача 56. Ако [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] са корени на уравнението [tex]x^2 +px + q=0[/tex] и [tex]S_n = x^{n}_{1} + x^{n}_{2}[/tex], да се докаже, че [tex]S_n + pS_{n-1} + qS_{n-2}=0[/tex]

[ganka simeonova]

[tex]S_n+pS_{n-1}+qS_{n-2}=x_1^n+x_2^n-(x_1+x_2)(x_1^{n-1}+x_2^{n-1})+x_1x_2(x_1^{n-2}+x_2^{n-2})=0[/tex]

[prodanov]

57(5т) Куб [tex]ABC...D_1[/tex] с ръб 1. Да се намери разстоянието и ъгълът м/у правите [tex]A_1D[/tex] и [tex]BD_1[/tex].

[ganka simeonova]

57(5т) Куб [tex]ABC...D_1[/tex] с ръб 1. Да се намери разстоянието и ъгълът м/у правите [tex]A_1D[/tex] и [tex]BD_1[/tex].

Ехоо, кандидатстуденти, не сдавайте багажа
Никой ли няма да я реши?
Отг:[tex]\frac{\sqrt{6} }{ 6}[/tex]

[prodanov]

Ехоо, кандидатстуденти, не сдавайте багажа
Никой ли няма да я реши?
Отг:[tex]\frac{\sqrt{6} }{ 6}[/tex]

Чакърян не прощава, нищо че е първа задача от раздела.
Тва е вярно, а ъгъла?

жокер за колегията: Може и без грам геометрия/стереометрия да се реши.