Кандидат-студентски задачи

[ganka simeonova]

57(5т) Куб [tex]ABC...D_1[/tex] с ръб 1. Да се намери разстоянието и ъгълът м/у правите [tex]A_1D[/tex] и [tex]BD_1[/tex].

Аз с г-н Чакърян имах вземане-даване преди цели 23 години, когато ми водеше Висша Алгебра

[strangerforever]

И бързи 2 т.:

Да се изчисли стойността на израза:

[tex]tg5^\circ.tg55^\circ.tg65^\circ.tg75^\circ[/tex]

[ganka simeonova]

И бързи 2 т.:

Да се изчисли стойността на израза:

[tex]tg5^\circ.tg55^\circ.tg65^\circ.tg75^\circ[/tex]

1?

[ganka simeonova]

57(5т) Куб [tex]ABC...D_1[/tex] с ръб 1. Да се намери разстоянието и ъгълът м/у правите [tex]A_1D[/tex] и [tex]BD_1[/tex].

Ехоо, кандидатстуденти, не сдавайте багажа
Никой ли няма да я реши?
Отг:[tex]\frac{\sqrt{6} }{ 6}[/tex]

Случайно да е прав?

[prodanov]

да, в редки случаи - седнал.

Задачката може да се реши само с вектори. Малко повече писане, но в пъти по-малко мислене.

[baroveca]

59 Решете уравнението: [tex]2+cos^{2}8x+cos^{2}2x=2cos8xcos2x+\sqrt{3}sinx+cosx[/tex] 5т.

[BTK Strangler]

Хвърлете едно око и на б) и в) от тук viewtopic.php?f=40&t=5562 поне на мен ми е интересна, колкото и да е лесна

[prodanov]

57(5т) Куб [tex]ABC...D_1[/tex] с ръб 1. Да се намери разстоянието и ъгълът м/у правите [tex]A_1D[/tex] и [tex]BD_1[/tex].

решението с векторите:


Нека [tex]\varphi[/tex] е търсеният ъгъл, а т.B е векторна база и [tex]\vec{BA}=\vec a; \vec{BC}=\vec b; \vec{BB_1}=\vec c\\
\Rightarrow \vec a\vec b=\vec a\vec c=\vec b\vec c=0\vspace{}(1);\\\vspace{} |\vec a| = |\vec b| = |\vec c| = 1[/tex]

Нека M и N са съответно от [tex]A_1D[/tex] и [tex]BD_1[/tex] и [tex]MN[/tex] е търсеното разстояние. [tex]\Rightarrow \angle A_1MN=\angle MNB = 90^\circ\vspace{} (2)[/tex]

Нека [tex]x\vec{DA_1}=\vec{MA_1}[/tex] и [tex]y\vec{D_1B}=\vec{D_1N};[/tex]
[tex]\vec{DA_1}=\vec {DD_1}+ \vec {D_1A_1} = \vec c-\vec a\\
\vec{D_1B} = \vec {D_1C_1} + \vec{C_1B_1} + \vec{B_1B} = -\vec a-\vec b -\vec c[/tex] [tex](3)[/tex]

[tex]\Rightarrow \vec{MN} = \vec{MA_1} + \vec{A_1D_1} + \vec{D_1N} = x\vec{DA_1} + \vec a + y\vec{D_1B}\\
= x(\vec c-\vec a) + \vec a + y(-\vec a-\vec b-\vec c) = \vec a(1-x-y) - y\vec b+ \vec c(x-y)\\
(2):\Rightarrow\begin{t}{|l}\vec{MN}.\vec{DA_1} = 0\\\vec{MN}.\vec{D_1B}=0\end{t} \Leftrightarrow \begin{t}{|l}\vec{MN}.(\vec c-\vec a) = 0\\\vec{MN}.(-\vec a-\vec b-\vec c) = 0\end{t} \Leftrightarrow \begin{t}{|l}x-y + x + y - 1=0\\x+y-1+y-x+y=0\end{t} \Leftrightarrow x=\frac12; y=\frac13;\\
\Rightarrow \vec{MN} = \vec a\frac16 - \vec b\frac13 + \vec c\frac16\vspace{} \uparrow\\
MN^2 = \frac1{36} + \frac19 + \frac1{36} = \frac16 \Leftrightarrow MN = \frac{\sqrt6}6[/tex]


от (1) и (3) следва:
[tex]\vec{DA_1}.\vec{D_1B} = |\vec{DA_1}|.|\vec{D_1B}|.cos\varphi\\
(\vec c-\vec a)(-\vec a-\vec b-\vec c)= |\vec{DA_1}|.|\vec{D_1B}|.cos\varphi\\
-1+1=|\vec{DA_1}|.|\vec{D_1B}|cos\varphi \Rightarrow \varphi = 90[/tex]

Уви в Чакърян е решена стереометрично, но стереометрията ми куца яко.

[ganka simeonova]

Задачката може да се реши само с вектори. Малко повече писане, но в пъти по-малко мислене.

Проданов, аз от вектори имам алергия ( проверяващите в СУ-също ).
Все пак си мисля, че хубавото на една задача е повече мислене и по- малко писане.

Да разгледаме [tex](ABC_1D_1)[/tex],която очевидно е пепрендикулярна на [tex]A_1D[/tex], защото
[tex]1)A_1D\bot AB; A_1D\bot AD_1; AD_1=proekcia na BD_1=>2)A_1D\bot BD_1)[/tex]
Построяваме перпендикуляр от ОF към [tex]BD_1=>OF\bot A_1D; OF=\frac{1}{2 } AH[/tex]
[tex]\Delta BAD_1=>AH=\frac{AB.AD_1}{ BD_1} =\frac{\sqrt{6} }{3 }=>OF=\frac{\sqrt6}{ 6}[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Може ли някой да даде метод за решаване на задачата от миналата страница с тангенситата Виждал съм нейно решение като се използва формулата за тангенс от утроен ъгъл,но може някой да даде някакво друго хубаво решение,което с нетърпение очаквам

[strangerforever]

И бързи 2 т.:

Да се изчисли стойността на израза:

[tex]tg5^\circ.tg55^\circ.tg65^\circ.tg75^\circ[/tex]

1?

Толкова е, да.

[0xdeadbeef]

59 Решете уравнението: [tex]2+cos^{2}8x+cos^{2}2x=2cos8xcos2x+\sqrt{3}sinx+cosx[/tex] 5т.

[tex]A= \cos^{2}{8x} - 2\cos{8x}\cos{2x} + \cos^{2}{2x} = (\cos{8x} - \cos{2x})^2 \ge 0[/tex]

[tex]\begin{array}{rcl} B &=& - \sqrt{3}\sin{x} - \cos{x} + 2 \\
&=& -2\sqrt{3}\sin{\frac{x}{2}\cos{\frac{x}{2}}} - (1 - 2\sin^2{\frac{x}{2}}) + 2\\
&=& -2\sqrt{3}\sin{\frac{x}{2}\cos{\frac{x}{2}}} - (1 - 2\sin^2{\frac{x}{2}}) + \sin^2{\frac{x}{2}} + \cos^2{\frac{x}{2}} + 1\\
&=& 3\sin^2{\frac{x}{2}} -2\sqrt{3}\sin{\frac{x}{2}\cos{\frac{x}{2}}} + \cos^2{\frac{x}{2}} \\
&=& (\sqrt{3}\sin{\frac{x}{2}} - \cos{\frac{x}{2}})^2 \ge 0
\end{array}[/tex]


[tex]A+B=0 \Leftrightarrow
\begin{t}{|l}
\cos{8x} - \cos{2x}= 0\\
\sqrt{3}\sin{\frac{x}{2}} - \cos{\frac{x}{2}} = 0
\end{t} \Leftrightarrow

\begin{t}{|l}
-2\sin{5x}\sin{3x}= 0\\
tg{\frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \small{(x \not= \pi + 2l\pi)}
\end{t} \Leftrightarrow

\begin{t}{|l}
{\small{(B)}} \rightarrow x=k\frac{\pi}{5}\\
{\small{(C)}} \rightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2l\pi
\end{t} \cup

\begin{t}{|l}
{\small{(A)}} \rightarrow x= k\frac{\pi}{3}\\
{\small{(C)}} \rightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2l\pi
\end{t}[/tex], [tex]l,k \in \mathbb{Z}[/tex]

Първата система няма решение, понеже няма дублиращи се ъгли от гупи [tex]\small(B)[/tex] и [tex]\small(C)[/tex].
Всички дублиращи се ъгли в групи [tex]\small(A)[/tex] и [tex]\small(C)[/tex] са [tex]x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi , n\in \mathbb{Z}[/tex].
Проверката показва че ъглите [tex]x = \pi + 2r\pi, r\in \mathbb{Z}[/tex], не са решение.
Окончателно [tex]\fbox{x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi , n\in \mathbb{Z}}[/tex]

59buc.jpg (17.08 KiB) Прегледано 2029 пъти

[0xdeadbeef]

(4т.) Задача 60. Даден е остроъгълен триъгълник ABC, в който M е средата на AB, H е неговият ортоцентър, CL е ъглополовяща и CP височина (L и P са точки от AB), ако CH=2, HP=1 и ML:LP=1:2, да се намери дължината на CM.

(5т.) Задача 61. Да се докаже, че функцията [tex]f(x) = 4x^4 - 24x^2 + 16x - 3[/tex] има три локални екстремума, стойнстите на които са отрицателни числа.

[BTK Strangler]

Като се прибера, след около 30 мин, пускам реш на 61

[BTK Strangler]

(5т.) Задача 61. Да се докаже, че функцията [tex]f(x) = 4x^4 - 24x^2 + 16x - 3[/tex] има три локални екстремума, стойнстите на които са отрицателни числа.

Имаме [tex]f(x) = 4x^4 - 24x^2 + 16x - 3[/tex].
Производната е [tex]f'(x)=16x^3-48x+16=16(x^3-3x+1)[/tex]
[tex]f(-2)=-1, f(-1)=1 \Rightarrow f'(x)\vspace{} \cyr{se zanulyava v intervala} \vspace{} (-\infty ;-1)\\<br> f(-1)=1, f(1)=-1 \Rightarrow f(x) \vspace{} \cyr{se zanulyava v intervala} \vspace{} (-1 ;1) \\<br> f(1)=-1; f(2)=3 \Rightarrow f'(x)\vspace{} \cyr{se zanulyava v intervala} \vspace{} (1; \infty )[/tex]
T.e. [tex]f'(x)=0[/tex] има 3 корена, т.е. f(x) има 3 локални екстремума. Избираме си t да е произволен корен от тия 3те. Ще използваме, че той е корен на f'(x), за да намалим степента на f(x) и да докажем, че f(t)<0 :
[tex]t^3-3t+1=0 \vspace{} and \vspace{} 4t^4-24t^2+16t-3 \Leftrightarrow 4t(t^3-6t+4) -3[/tex]
Заместваме във f(x) с [tex]t^3=3t-1[/tex]
[tex]4t(3t-1-6t+4) - 3= 4t(-3t+3)-3=-12t^2+12t-3 = -3(4t^2+4t+1)=-3(2t+1)^2[/tex]
Но t не може да е 1/2, тъй като f'(1/2)≠0
Тогава [tex]f(t) = -3(2t+1)^2<0[/tex], което и трябваше да докажем

[BTK Strangler]

(7т.) Задача 62. В триъгълника АВС точката О е ц-р на вписаната окръжност к.

(2т.) а) През О минава права l, пресичаща страните АС и ВС. Нека са съответно разстоянията от А, В и С до l. Да се докаже, че [tex]ax_{A}+bx_{B}=cx_{C}[/tex] , където a=BC, b=AC, c=AB.
(3т.) б) да се докаже, че лицето на триъгълника, с върхове допирните точки на к със страните на триъгълника АВС, е равно на [tex]\frac{pr^2}{ 2R}[/tex] (при стандартните означения).
(2т.) в) Да се намери най-голямата стойност на отношението на лицето на триъгълника с върхове допирните точки на к със страните на триъгълника и лицето на вписания в АВС кръг, ако [tex]\angle ABC=120^\circ[/tex]

[ganka simeonova]

(4т.) Задача 60. Даден е остроъгълен триъгълник ABC, в който M е средата на AB, H е неговият ортоцентър, CL е ъглополовяща и CP височина (L и P са точки от AB), ако CH=2, HP=1 и ML:LP=1:2, да се намери дължината на CM.

Ясно е, че [tex]PT=PH=1[/tex] Озн. [tex]AM=y; ML=x; LP=2x=>PB=y-3x[/tex]
[tex]1)AP.PB=CP.PT=>y^2-9x^2=3=>9x^2=y^2-3[/tex]

[tex]2)\Delta CPM=>CM^2=9x^2+9=>CM^2=y^2+6[/tex]
3) От подобието на [tex]\Delta MFL;\Delta PCL=>MF=\frac{3}{ 2} ; OM=\frac{1}{ 2} CH=>OM=1=>OF=R=OS=\frac{5}{ 2}[/tex]

[tex]AM.MB=SM.MF=>y^2=\frac{21}{4 } =>CM^2=\frac{21}{4 } +6=>cM=3\frac{\sqrt{5} }{ 2}[/tex]

[v1rusman]

зад.Да се намерят всички функции [tex]f[/tex] с дефиниционна област [tex](-\infty;+\infty)[/tex] , за които:
[tex]1)f(1) = 1[/tex]
[tex]2)[/tex] за всеки 2 числа [tex]x[/tex] и [tex]t[/tex] следва, че [tex]f(x)-f(t) \le (x-t)^2[/tex].

[BTK Strangler]

Някой мисли ли по 62 или да пускам реш

[Mr.G{}{}Fy]

(7т.) Задача 62. В триъгълника АВС точката О е ц-р на вписаната окръжност к.

(2т.) а) През О минава права l, пресичаща страните АС и ВС. Нека са съответно разстоянията от А, В и С до l. Да се докаже, че [tex]ax_{A}+bx_{B}=cx_{C}[/tex] , където a=BC, b=AC, c=AB.
(3т.) б) да се докаже, че лицето на триъгълника, с върхове допирните точки на к със страните на триъгълника АВС, е равно на [tex]\frac{pr^2}{ 2R}[/tex] (при стандартните означения).
(2т.) в) Да се намери най-голямата стойност на отношението на лицето на триъгълника с върхове допирните точки на к със страните на триъгълника и лицето на вписания в АВС кръг, ако [tex]\angle ABC=120^\circ[/tex]

б)Нека допирните точки до [tex]AB,BC[/tex] и [tex]AC[/tex] са съответно [tex]N,M[/tex] и [tex]T[/tex]

[tex]S\Delta TNM=S\Delta TON + S\Delta NOM + S\Delta MOT[/tex]

[tex]S\Delta TON=\frac{r^2.sin\alpha }{ 2}[/tex]

[tex]S\Delta NOM=\frac{r^2.sin\beta }{2 }[/tex]

[tex]S\Delta TOM=\frac{r^2.sin\gamma }{ 2}[/tex]

[tex]S\Delta TNM=\frac{r^2(sin\alpha + sin\beta + sin\gamma)}{2 }[/tex]

[tex]sin\alpha =\frac{a}{2R } ,sin\beta =\frac{b}{2R } ,sin\gamma =\frac{c}{2R }[/tex]

===> [tex]S \Delta NTM =\frac{r^2(a+b+c)}{ 4R} =\frac{r^2.p}{2R }[/tex]

[BTK Strangler]

(7т.) Задача 62. В триъгълника АВС точката О е ц-р на вписаната окръжност к.

(2т.) а) През О минава права l, пресичаща страните АС и ВС. Нека са съответно разстоянията от А, В и С до l. Да се докаже, че [tex]ax_{A}+bx_{B}=cx_{C}[/tex] , където a=BC, b=AC, c=AB.
(3т.) б) да се докаже, че лицето на триъгълника, с върхове допирните точки на к със страните на триъгълника АВС, е равно на [tex]\frac{pr^2}{ 2R}[/tex] (при стандартните означения).
(2т.) в) Да се намери най-голямата стойност на отношението на лицето на триъгълника с върхове допирните точки на к със страните на триъгълника и лицето на вписания в АВС кръг, ако [tex]\angle ABC=120^\circ[/tex]

б)Нека допирните точки до [tex]AB,BC[/tex] и [tex]AC[/tex] са съответно [tex]N,M[/tex] и [tex]T[/tex]

[tex]S\Delta TNM=S\Delta TON + S\Delta NOM + S\Delta MOT[/tex]
[tex]S\Delta TON=\frac{r^2.sin\alpha }{ 2}[/tex]

[tex]S\Delta NOM=\frac{r^2.sin\beta }{2 }[/tex]

[tex]S\Delta TOM=\frac{r^2.sin\gamma }{ 2}[/tex]

[tex]S\Delta TNM=\frac{r^2(sin\alpha + sin\beta + sin\gamma)}{2 }[/tex]

[tex]sin\alpha =\frac{a}{2R } ,sin\beta =\frac{b}{2R } ,sin\gamma =\frac{c}{2R }[/tex]

===> [tex]S \Delta NTM =\frac{r^2(a+b+c)}{ 4R} =\frac{r^2.p}{2R }[/tex]

Съгласен съм

[Mr.G{}{}Fy]

Няма къде да идеш А друго решение има ли ... защото е много вероятно моето да не е рационално

[BTK Strangler]

Мойто е абсолютно същото и господина ми я реши така. Поне аз не знам друго, ама да ти кажа, това си ме кефи :Д много простичко и изчистено

[Mr.G{}{}Fy]

Мойто е абсолютно същото и господина ми я реши така. Поне аз не знам друго, ама да ти кажа, това си ме кефи :Д много простичко и изчистено

И мен ме кефи абсолютно елементарно и достъпно ... Просто за всеки случай питах дали няма нещо по тарикатско

[BTK Strangler]

Е че ко повече давай другите подточки