Кандидат-студентски задачи

[v1rusman]

зад.64 (7т.) В правоъгълен триъгълник АВС с [tex]<C=90^\circ[/tex] височината, ъглополовящата и медианата от върха [tex]C[/tex] пресичат страната [tex]AB[/tex] съответно в точките [tex]D,L[/tex] и [tex]M[/tex], а [tex]T[/tex] е допирната точка на [tex]AB[/tex] с вписаната в триъгълника окръжност. Да се намерят страните на [tex]ABC[/tex], ако [tex]MT=1[/tex] и [tex]MD=\frac{7}{5 } .[/tex]

ПП: Някой може да погледна и горната задача с функциите, която пуснах.

зад.Да се намерят всички функции [tex]f[/tex] с дефиниционна област [tex](-\infty;+\infty)[/tex] , за които:
[tex]1)f(1) = 1[/tex]
[tex]2)[/tex] за всеки 2 числа [tex]x[/tex] и [tex]t[/tex] следва, че [tex]f(x)-f(t) \le (x-t)^2[/tex].

[strangerforever]

Ъглополовящата каква връзка има със задачата?

[baroveca]

Ъглополовящата каква връзка има със задачата?

Сигурно от ъглополовящата като се спусне радиуса, и от там ще е успореден на височината..и мисля,че Талес ще се използва..ама нещо не го изкарвам...

[strangerforever]

Не е въпросът каква е връзката с решението на задачата, а каква е връзката с условието на задачата?

[prodanov]

ПП: Някой може да погледна и горната задача с функциите, която пуснах.

зад.Да се намерят всички функции [tex]f[/tex] с дефиниционна област [tex](-\infty;+\infty)[/tex] , за които:
[tex]1)f(1) = 1[/tex]
[tex]2)[/tex] за всеки 2 числа [tex]x[/tex] и [tex]t[/tex] следва, че [tex]f(x)-f(t) \le (x-t)^2[/tex].

Сигурен ли си че тва в дясно е на квадрат?

[v1rusman]

Да, сигурен съм, че е на квадрат и да, ъглополовящата има връзка с условието - просто съществува връзка между дължините на отсечките Ml, MD и MT, която не съм я дал, защото задачата би станала доста по-лесна.

[strangerforever]

Да, сигурен съм, че е на квадрат и да, ъглополовящата има връзка с условието - просто съществува връзка между дължините на отсечките Ml, MD и MT, която не съм я дал, защото задачата би станала доста по-лесна.

Дори и да съществува такава връзка, тя не е част от условието на задачата, а е следствие от нещо друго. Точката L по никакъв начин не участва в задачата и в условието и няма смисъл да се споменава в условието изобщо. Дали има връзка с решението или не, това няма значение.

6, 8, 10?

[mkmarinov]

63)
Ako v dve razmenim mestata na t i x i kombinirame s purvonachalnoto:
[tex]|f(x)-f(t)| \le (x-t)^2[/tex]
Neka x=t+dt, dt>0, dt -> 0.
[tex]|f(t+dt)-f(t)| \le (dt)^2[/tex]
[tex]|f'(t)| \le dt[/tex] za vsqko t => f'(t)=0 => f(x) e const.

Otg: [tex]f(x) \equiv 1[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

6, 8, 10?

Там някъде

[v1rusman]

Зависимостта е, че [tex]MT^2 = ML.MD[/tex], което трябва да се докаже в оригиналната задача в подточка а). Подточка б) е тази, която аз съм написал. Нещо обаче не можах да го докажа.

[Mr.G{}{}Fy]

Зависимостта е, че [tex]MT^2 = ML.MD[/tex], което трябва да се докаже в оригиналната задача в подточка а). Подточка б) е тази, която аз съм написал. Нещо обаче не можах да го докажа.

Точно,че тази ъглополовяща,която си дал е излишна

[v1rusman]

Ето още една задача:

зад. 65 (7т.) В триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex] оротогоналната проекция [tex]D_{1}[/tex] на върха [tex]D[/tex] върху равнината на основата [tex]ABC[/tex]лежи върху описаната около триъгълник [tex]ABC[/tex] окръжност и [tex]DD_{1}=AB=BC=1[/tex]. Околните стени [tex]ABD[/tex] и [tex]BCD[/tex] сключват с основата ъгли с големина [tex]45^\circ[/tex]. Да се намерят дължините на радиусите на вписаната и описаната за пирамидата сфери.

[v1rusman]

Това е още една задача в стил 10-та от СУ:

зад.66 (7т.) Дадена е функцията [tex]f(x)=\frac{x^2+mx+4}{ x^2+x+4}[/tex], където [tex]m[/tex] е реален параметър. Да се намерят всички стойности на [tex]m[/tex], за които при всеки избор на реалните числа [tex]a,b[/tex] и [tex]c[/tex] числата [tex]f(a),f(b)[/tex] и [tex]f(c)[/tex] са страни на триъгълник.

[prodanov]

63)
Ako v dve razmenim mestata na t i x i kombinirame s purvonachalnoto:
[tex]|f(x)-f(t)| \le (x-t)^2[/tex]
Neka x=t+dt, dt>0, dt -> 0.
[tex]|f(t+dt)-f(t)| \le (dt)^2[/tex]
[tex]|f'(t)| \le dt[/tex] za vsqko t => f'(t)=0 => f(x) e const.

Otg: [tex]f(x) \equiv 1[/tex]

Как го получи модула?

[mkmarinov]

[tex]f(x)-f(t) \le (x-t)^2[/tex] - tova e uslovieto. Sega, ako razmenim mestata na t i x:
[tex]f(t)-f(x) \le (t-x)^2=(x-t)^2[/tex]. Kato slojim tezi dvete v sistema se poluchava tova s modula.

[Mr.G{}{}Fy]

Аз предлагам да почнем да пускаме решения,а не да подминаваме задачите.. та на BTK Strangler има една задача,чиито отговори не са постнати,на тази от v1rusman вчерашната,ако никой до вечерта не постне ще постна аз ... и също така на тази не видях решение


Задача 52

strangerforever
Нека f(x) е строго растяща функция, дефинирана за x > 0. Ако f(x) > -\frac{1}{x} и f(x)f(f(x)+\frac{1}{x}) = 1 за всякоx > 0, намерете f(1). (5 точки)





Може и да греша,но поне аз не видях ...

[BTK Strangler]

Отивам сега да си взема дипломата Като се върна ще напиша решението на мой'та

[strangerforever]

Защо всички в този форум обявяват като отиват да си вземат дипломата ?!

[Mr.G{}{}Fy]

Защо всички в този форум обявяват като отиват да си вземат дипломата ?!

Гордеят се хората .. Кой завършил,кой не

[prodanov]

[tex]f(x)-f(t) \le (x-t)^2[/tex] - tova e uslovieto. Sega, ako razmenim mestata na t i x:
[tex]f(t)-f(x) \le (t-x)^2=(x-t)^2[/tex]. Kato slojim tezi dvete v sistema se poluchava tova s modula.

Как ги разменяш?
[tex]f(x) - f(t) \le (x-t)^2\\
f(t) - f(x) \ge (t-x)(x-t)[/tex]

[kucheto]

Това е още една задача в стил 10-та от СУ:

зад.66 (7т.) Дадена е функцията [tex]f(x)=\frac{x^2+mx+4}{ x^2+x+4}[/tex], където [tex]m[/tex] е реален параметър. Да се намерят всички стойности на [tex]m[/tex], за които при всеки избор на реалните числа [tex]a,b[/tex] и [tex]c[/tex] числата [tex]f(a),f(b)[/tex] и [tex]f(c)[/tex] са страни на триъгълник.

viewtopic.php?f=49&t=3991

[prodanov]

67) Да се пресметне:
(2т) б) [tex]2^{log_35}-5^{log_32}[/tex]
(8т) в) [tex]2^{\sqrt{log_23}}-3^{\sqrt{log_32}}[/tex]

[MMaster]

68)
Въпросът ми е свързан с това дали аз греша или в самия отговор е допусната грешка. Ето и задачата:

(1995, Зрелостен изпит) Дадена е правата призма [tex]ABCA_{1}B_{1}C_{1}[/tex], основата [tex]ABC[/tex] на която е правоъгълен триъгълник с [tex]\angle C=90^\circ[/tex]. Радиусът на описаната около [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност е равен на [tex]R[/tex] и [tex]\angle CAB = \alpha[/tex]. През диагонала [tex]CB_{1}[/tex] е посторена равнина [tex]\gamma[/tex], която е перпендикулярна на равнината [tex](CBB_{1})[/tex] и образува с равнината на основата ъгъл, равен на [tex]\beta[/tex].
Да се намери:
а) обемът на призмата б) разстоянието от точката [tex]B[/tex] до равнината [tex]\gamma[/tex].
За отговори са посочени: а) [tex]V=2R^{3}sin2\alpha cos\alpha tg\beta[/tex]
б)[tex]2Rsin\alpha sin\beta[/tex]

Отговор б) го получавам, но а) го получавам със следната разлика: [tex]V=2R^{3}sin2\alpha sin\alpha tg\beta[/tex]
Та имам грешка или има печатна при отговорите?

[Martin Nikovski]

67.б) [tex]2^{log_35}-5^{log_32}=2^{\frac{log_25}{log_23 } }-5^{log_32}=\left(2^{log_25}\right)^{\frac{1}{log_23}}-5^{log_32}=5^{log_32}-5^{log_32}=0[/tex]

[strangerforever]

67) Да се пресметне:
(2т) б) [tex]2^{log_35}-5^{log_32}[/tex]
(8т) в) [tex]2^{\sqrt{log_23}}-3^{\sqrt{log_32}}[/tex]

[tex]A = 2^{\sqrt{log_23}}-3^{\sqrt{log_32}}[/tex]

Нека [tex]log_23 = t \Rightarrow log_32 = \frac{1}{t}[/tex] и [tex]3 = 2^t[/tex]. Изразът става:

[tex]A = 2^{\sqrt{t}} - 2^{\frac{t}{sqrt{t}}}[/tex]

[tex]A = 2^{\sqrt{t}} - 2^{sqrt{t}}[/tex]

[tex]A = 0[/tex]