Кандидат-студентски задачи

[Martin Nikovski]

68)
Въпросът ми е свързан с това дали аз греша или в самия отговор е допусната грешка. Ето и задачата:

(1995, Зрелостен изпит) Дадена е правата призма [tex]ABCA_{1}B_{1}C_{1}[/tex], основата [tex]ABC[/tex] на която е правоъгълен триъгълник с [tex]\angle C=90^\circ[/tex]. Радиусът на описаната около [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност е равен на [tex]R[/tex] и [tex]\angle CAB = \alpha[/tex]. През диагонала [tex]CB_{1}[/tex] е посторена равнина [tex]\gamma[/tex], която е перпендикулярна на равнината [tex](CBB_{1})[/tex] и образува с равнината на основата ъгъл, равен на [tex]\beta[/tex].
Да се намери:
а) обемът на призмата б) разстоянието от точката [tex]B[/tex] до равнината [tex]\gamma[/tex].
За отговори са посочени: а) [tex]V=2R^{3}sin2\alpha cos\alpha tg\beta[/tex]
б)[tex]2Rsin\alpha sin\beta[/tex]

Отговор б) го получавам, но а) го получавам със следната разлика: [tex]V=2R^{3}sin2\alpha sin\alpha tg\beta[/tex]
Та имам грешка или има печатна при отговорите?

И аз получавам същото като теб...

[MMaster]

Мерси за отговора! Вече съм спокоен.

[prodanov]

69(a) 3т, b) 8т, c) 10т;)
[tex]a)\vspace{}3log_x2log_{2x}2=2log_{4x}2\\b)\vspace{}\sqrt{1+log_2x}+\sqrt{4log_4x-2} = 4\\c)\vspace{}\frac32log_{\frac14}(x+2)^2-3=log_{\frac14}(4-x)^3+log_{\frac14}(x+6)^3[/tex]

[Martin Nikovski]

зад. 69 c)
[tex]\frac{3}{2}log_{\frac{1}{4}}\left(x+2\right)^2-3=log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)^3+log_{\frac{1}{4}}\left(x+6\right)^3[/tex]
[tex]\cyr{DM}:\ \left(x+2\right)^2>0\ \Rightarrow\ x\ne -2[/tex] [tex]\ \ \[/tex]и [tex]\ \ \[/tex][tex]\left(4-x\right)^3>0\ \Rightarrow\ 4-x>0\ \Rightarrow\ x<4[/tex] [tex]\ \ \[/tex]и [tex]\ \ \[/tex][tex]\left(x+6\right)^3>0\ \Rightarrow\ x+6>0\ \Rightarrow\ x>-6[/tex]
[tex]\cyr{DM}:\ x\in \left(-6;-2\right)\cup\left(-2;4\right)[/tex]
[tex]log_{\frac{1}{4}}\left(x+2\right)^3-log_{\frac{1}{4}}\left(\frac{1}{4}\right)^3=log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)^3+log_{\frac{1}{4}}\left(x+6\right)^3[/tex]
[tex]log_{\frac{1}{4}}\left(\frac{x+2}{\frac{1}{4}}\right)^3=log_{\frac{1}{4}}\left[\left(4-x\right)\left(x+6\right)\right]^3[/tex]
Антилогаритмуваме: [tex]\left[4\left(x+2\right)\right]^3=\left[\left(4-x\right)\left(x+6\right)\right]^3\ |^{\frac{1}{3}[/tex]
[tex]4x+8=4x+24-x^2-6x[/tex]
[tex]x^2+6x-16=0[/tex]
[tex]D=3^2+16=9+16=25[/tex]
[tex]x_1=-3+5=2\in\cyr{DM}[/tex]
[tex]x_2=-3-5=-8\notin\cyr{DM}[/tex]
Отг. [tex]x=2[/tex]

[Martin Nikovski]

зад. 69 b)
[tex]\sqrt{1+log_2x}+\sqrt{4log_4x-2}=4[/tex]
[tex]\cyr{DM}_x:\ x>0[/tex] [tex]\ \ \[/tex]и [tex]\ \ \[/tex][tex]1+log_2x\ge 0\ \Rightarrow\ log_2x\ge -1\ \Rightarrow\ x\ge \frac{1}{2}[/tex] [tex]\ \ \[/tex]и [tex]\ \ \[/tex][tex]4log_4x-2\ge 0\ \Rightarrow\ log_4x\ge \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ x\ge 2[/tex]
[tex]\cyr{DM}_x:\ x\in \left[2;+\infty\right)[/tex]
[tex]\sqrt{1+log_2x}+\sqrt{2log_2x-2}=4[/tex]
Полагаме: [tex]log_2x=y[/tex], [tex]\cyr{DM}_y:\ y\ge 1[/tex]
[tex]\sqrt{1+y}+\sqrt{2y-2}=4\ |^2[/tex]
[tex]1+y+2\sqrt{\left(1+y\right)\left(2y-2\right)}+2y-2=16[/tex]
[tex]2\sqrt{\cancel{2y}-2+2y^2-\cancel{2y}}=17-3y\ |^2\ \cyr{DM}_y:\ 17-3y\ge 0\ \Rightarrow\ y\le \frac{17}{3}\ \Rightarrow\ \cyr{DM}_y:\ y\in \left[1;\frac{17}{3}\right][/tex]
[tex]8y^2-8=289-102y+9y^2[/tex]
[tex]y^2-102y+297=0[/tex]
[tex]D=51^2-297=2304[/tex]
[tex]y_1=51+48=99\notin \cyr{DM}_y[/tex]
[tex]y_2=51-48=3\in \cyr{DM}_y[/tex]
[tex]log_2x=3\ \Rightarrow\ x=8[/tex]
Отг. [tex]x=8[/tex]

[prodanov]

c) Пропуснал си един от отговорите, а и D(x) не е напълно вярно.

[Martin Nikovski]

зад. 69 а)
[tex]3log_x2log_{2x}2=2log_{4x}2[/tex]
[tex]\cy{DM}:\ x>0,\ x\ne 1\ \Rightarrow\ \cyr{DM}:\ x\in \left(0;1\right)\cup\left(1;+\infty\right)[/tex]
[tex]\frac{3}{log_2xlog_22x }=\frac{2}{log_24x }[/tex]
[tex]\frac{3}{log_2x\left(log_22+log_2x \right)}=\frac{2}{log_24+log_2x}[/tex]
[tex]\frac{3}{log_2x\left(1+log_2x\right) }=\frac{2}{2+log_2x}[/tex]
Полагаме: [tex]log_2x=y[/tex]
[tex]\frac{3}{y\left(1+y\right) }=\frac{2}{2+y}[/tex]
[tex]6+3y=2y+2y^2[/tex]
[tex]2y^2-y-6=0[/tex]
[tex]D=1^2-4.2.\left(-6\right)=49[/tex]
[tex]y_1=\frac{1+7}{4 }=2,\ y_2=\frac{1-7}{4 }=-\frac{3}{2 }[/tex]
[tex]log_2x_1=y_1=2\ \Rightarrow\ x_1=4[/tex]
[tex]log_2x_2=y_2=-\frac{3}{2}\ \Rightarrow\ x_2=2^{-\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2\sqrt 2 }=\frac{\sqrt 2}{4 }[/tex]
Отг. [tex]x_1=4,\ x_2=\frac{\sqrt 2}{4 }[/tex]

[Martin Nikovski]

c) Пропуснал си един от отговорите, а и D(x) не е напълно вярно.

OK, ще го пообмисля, но утре, че сега стана много късно...

[Martin Nikovski]

Хмм... мисля, че [tex]\cyr{DM}[/tex] го оправих.
Прегледах си няколко пъти решението и единственото нещо, което ми привлече вниманието е как преминавам от четна в нечетна степен, би било добре да сложа един модул.

зад. 69 c)
[tex]\frac{3}{2}log_{\frac{1}{4}}\left(x+2\right)^2-3=log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)^3+log_{\frac{1}{4}}\left(x+6\right)^3[/tex]
[tex]\cyr{DM}:\ \left(x+2\right)^2>0\ \Rightarrow\ x\ne -2 \ \ \[/tex] и [tex]\ \ \ \left(4-x\right)^3>0\ \Rightarrow\ 4-x>0\ \Rightarrow\ x<4 \ \ \[/tex] и [tex]\ \ \ \left(x+6\right)^3>0\ \Rightarrow\ x+6>0\ \Rightarrow\ x>-6[/tex]
[tex]\cyr{DM}:\ x\in \left(-6;-2\right)\cup\left(-2;4\right)[/tex]
[tex]\frac{3}{2 } log_{\frac{1}{4}}\left(x+2\right)^2-3=3log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)+3log_{\frac{1}{4}}\left(x+6\right)\ /:3[/tex]
[tex]log_{\frac{1}{4}}\left|x+2\right|-log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{4}=log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)+log_{\frac{1}{4}}\left(x+6\right)[/tex]
Антилогаритмуваме: [tex]\frac{\left|x+2\right|}{\frac{1}{4 } }=\left(4-x\right)\left(x+6\right)[/tex]
[tex]4\left|x+2\right|=4x+24-x^2-6x[/tex]
[tex]x^2+2x-24+4\left|x+2\right|=0[/tex]

[tex]\ \ \[/tex]1. [tex]x+2>0\ \Rightarrow\ \cyr{DM}:\ x\in\left(-2;4\right)[/tex]
[tex]x^2+2x-24+4x+8=0[/tex]
[tex]x^2+6x-16=0[/tex]
[tex]D=3^2+16=25[/tex]
[tex]x_1=-3+5=2\in \cyr{DM},\ x_2=-3-5=-8\notin\cyr{DM}[/tex]

[tex]\ \ \[/tex]2. [tex]x+2<0\ \Rightarrow\ \cyr{DM}:\ x\in\left(-6;-2\right)[/tex]
[tex]x^2+2x-24-4x-8=0[/tex]
[tex]x^2-2x-32=0[/tex]
[tex]D=1^2+32=33[/tex]
[tex]x_3=1+\sqrt{33}\notin \cyr{DM},\ x_4=1-\sqrt{33}\in\cyr{DM}[/tex]

Отг. [tex]x_1=2,\ x_2=1-\sqrt{33}[/tex]

[prodanov]

Така бива. И аз направих същите 2 грешки и затова реших да я пусна.

70(a) 3т b) 5т c) 8т) Да се докаже, че [tex]f(x) = 16x^4-16x^3+x+a[/tex]
a) няма реални корени при [tex]a = \frac{17}{16}[/tex]
b) има точно два реални корена при [tex]a = \frac5{16}[/tex]
c) има четири различни реални корена при [tex]a=\frac5{64}[/tex]

[mkmarinov]

Нещо са й много тези точки на 70.

70 с) :
[tex]f(x)=16x^4-16x^3+x+\frac{5}{64}[/tex]
[tex]f(-1)=16+16-1+\frac{5}{64}>0[/tex]
[tex]f(-0.1)=\frac{16}{10000}+\frac{16}{1000}-\frac{1}{10}+\frac{5}{64}=0.0176-0.1+0.078<0[/tex] => 1 корен
[tex]f(0)=\frac{5}{64}>0[/tex] => 2 корена
[tex]f(0,5)=f(\frac{1}{2})=16.\frac{1}{16}-16.\frac{1}{8}+\frac{1}{2}+\frac{5}{64}=1-2+\frac{1}{2}+\frac{5}{64}=\frac{5}{64}-\frac{1}{2}<0[/tex] => 3 корена
[tex]f(1)=16-16+1+\frac{5}{64}>0[/tex] => 4 корена

Самите корени следват от теоремата за средната стойност. Досега сме открили поне 4 корена. Но функцията е полином от четвърта степен и не може да има повече. Затова има точно 4 реални корена.

[MMaster]

71) Дадена е функцията [tex]f(x) = \frac{-\left|x^{2}+2x-3\right|-\left|x^{2}-2x-3\right| }{x^{2}+1}[/tex]. Да се

намерят НМС И НГС на функцията. Отг. НГС= [tex]-\frac{6}{5}[/tex], НМС=[tex]-6[/tex].

[0xdeadbeef]

71) Дадена е функцията [tex]f(x) = \frac{-\left|x^{2}+2x-3\right|-\left|x^{2}-2x-3\right| }{x^{2}+1}[/tex]. Да се

намерят НМС И НГС на функцията. Отг. НГС= [tex]-\frac{6}{5}[/tex], НМС=[tex]-6[/tex].

[tex]f(-x) = \frac{-|(-x)^2 +2(-x) -3| -|(-x)^2 -2(-x) -3|}{(-x)^2 + 1}=\frac{-|x^2 - 2x -3| - |x^2 +2x -3|}{x^2 + 1}=f(x)[/tex], следователно [tex]f(x)[/tex] е четна. Дефиниционната област на [tex]f(x)[/tex] са всички реални числа, т.е симетрична е спрямо точката [tex]O[/tex].

1. [tex]x \in [0,1)[/tex] : [tex]f(x) \Leftrightarrow g_1(x) = \frac{2x^2 -6}{x^2 + 1}[/tex]

[tex]g_{1}'(x) = \frac{16x}{(x^2 + 1)^2} \ge 0[/tex], следователно [tex]f(x)[/tex] расте в [tex][0,1)[/tex]

2. [tex]x \in [1,3)[/tex]: [tex]f(x) \Leftrightarrow g_2(x) = -\frac{4x}{x^2 + 1}[/tex]

[tex]g'_{2}(x) = \frac{4(x^2 +x -1)}{(x^2 +1)^2}[/tex], корените на квдратното уравнение [tex]x^2 +x -1=0[/tex] са [tex]x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}[/tex], като [tex]x_1 < x_2 < 1[/tex], значи [tex]g'_{2}(x) > 0[/tex], следователно [tex]f(x)[/tex] расте в [tex][1,3)[/tex]

3. [tex]x \in [3,+\infty)[/tex] : [tex]f(x) \Leftrightarrow g_3(x) = \frac{6 - 2x^2}{x^2 + 1}[/tex]
[tex]g'_3(x) = -\frac{16x}{(x^2 + 1)^2} < 0[/tex], следователно [tex]f(x)[/tex] намалява в [tex][3, + \infty)[/tex]

fxbehavior.jpg (4.69 KiB) Прегледано 5514 пъти

Отговор: [tex]f_{min} = -6;f_{max}=-\frac{6}{5}[/tex]

Edit: [tex]\lim_{x\to +\infty}g_{3}(x)=\lim_{x\to +\infty} \frac{6 - 2x^2}{x^2 + 1} = \lim_{x\to +\infty}\frac{\cancel{x^2}(\frac{6}{x^2} -2)}{\cancel{x^2}(1 + \frac{1}{x^2})} = -2 (> -6)[/tex]

[MMaster]

Благодаря много на tautochrone!

[prodanov]

зад 73 - 5т)

[tex]\(\sqrt{\frac32} + \sqrt{\frac12}\)^x + \(\sqrt{\frac32} - \sqrt{\frac12}\)^x = 2^x[/tex]

[v1rusman]

За тая това, което измислих е, че лявата страна е >= 2 ( като положиш първата скоба на у, втората е 1/у ), което дава решения при х >= 1 и х = 2 е решение. Как се изследва и доказва, че това е единственото решение ?

[mkmarinov]

[tex](\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2})^x+(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})^x=\sqrt{2}^x[/tex]
[tex](\sin\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3})^x+(\sin\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{3})^x=\sqrt{2}^x[/tex]
[tex]\sqrt{2}^x(\cos\frac{\pi}{12})^x+\sqrt{2}^x(\cos\frac{7\pi}{12})^x=\sqrt{2}^x[/tex]
[tex](\cos\frac{\pi}{12})^x+(-\cos\frac{7\pi}{12})^x=1[/tex]
Но [tex]-\cos\frac{7\pi}{12}=\cos\frac{5\pi}{12}=\sin\frac{\pi}{12}[/tex]
Откъдето получаваме
[tex](\sin\frac{\pi}{12})^x+(\cos\frac{\pi}{12})^x=1[/tex]
А основното тригонометрично тъждество го знаеме .

[strangerforever]

[tex](\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2})^x+(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})^x=\sqrt{2}^x[/tex]
[tex](\sin\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3})^x+(\sin\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{3})^x=\sqrt{2}^x[/tex]
[tex]\sqrt{2}^x(\cos\frac{\pi}{12})^x+\sqrt{2}^x(\cos\frac{7\pi}{12})^x=\sqrt{2}^x[/tex]
[tex](\cos\frac{\pi}{12})^x+(-\cos\frac{7\pi}{12})^x=1[/tex]
Но [tex]-\cos\frac{7\pi}{12}=\cos\frac{5\pi}{12}=\sin\frac{\pi}{12}[/tex]
Откъдето получаваме
[tex](\sin\frac{\pi}{12})^x+(\cos\frac{\pi}{12})^x=1[/tex]
А основното тригонометрично тъждество го знаеме .

Можем ли директно да кажем, че x = 2 e единственото решение от това?

[prodanov]

Може.

[Mr.G{}{}Fy]

[tex](\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2})^x+(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})^x=\sqrt{2}^x[/tex]
[tex](\sin\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3})^x+(\sin\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{3})^x=\sqrt{2}^x[/tex]
[tex]\sqrt{2}^x(\cos\frac{\pi}{12})^x+\sqrt{2}^x(\cos\frac{7\pi}{12})^x=\sqrt{2}^x[/tex]
[tex](\cos\frac{\pi}{12})^x+(-\cos\frac{7\pi}{12})^x=1[/tex]
Но [tex]-\cos\frac{7\pi}{12}=\cos\frac{5\pi}{12}=\sin\frac{\pi}{12}[/tex]
Откъдето получаваме
[tex](\sin\frac{\pi}{12})^x+(\cos\frac{\pi}{12})^x=1[/tex]
А основното тригонометрично тъждество го знаеме .

Можем ли директно да кажем, че x = 2 e единственото решение от това?

Но тогава как ще докажем,че е единствено решение ?

[mkmarinov]

Отляво имаш сбор от намаляващи функции, а отдясно константа.

[Mr.G{}{}Fy]

[tex](\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2})^x[/tex] Това не е ли растящо нещо

[strangerforever]

[tex](\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2})^x[/tex] Това не е ли растящо нещо

Той имаше предвид крайното уравнение.

[prodanov]

[tex](\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2})^x[/tex] Това не е ли растящо нещо

Да, но [tex]\(\frac{\sqrt{\frac32} + \sqrt{\frac12}}2\)^x[/tex] е намаляващо.

74(9т) [tex]log^2_2x + \frac{1 - 2log_{4x}2}{2^{log_{\frac14}(x-1)log_{\sqrt2}2}log_{4x}2} = 6-2x[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

[tex](\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2})^x[/tex] Това не е ли растящо нещо

Той имаше предвид крайното уравнение.

Моя грешка... Помислих,че питаш дали директно може още от началото да се докаже единствения корен... Разбрахме се