Кандидат-студентски задачи

[v1rusman]

А ако не ползваме тригонометрия и разделим двете страни на [tex]2^x[/tex] отдясно ще имаме константа ( т.е 1 ), а отляво как можем да докажем, че функцията е разстяща/намаляваща ?

[prodanov]

Получава се [tex]\(\frac{\sqrt{\frac32} + \sqrt{\frac12}}2\)^x + \(\frac{\sqrt{\frac32} - \sqrt{\frac12}}2\)^x = 1[/tex]

Лявата страна е сбор от показателни функции с основа, по-малка от 1 [tex]\Rightarrow[/tex] са намаляващи.
1) Нека х > 2

тогава [tex]\(\frac{\sqrt{\frac32} + \sqrt{\frac12}}2\)^x + \(\frac{\sqrt{\frac32} - \sqrt{\frac12}}2\)^x < \(\frac{\sqrt{\frac32} + \sqrt{\frac12}}2\)^2 + \(\frac{\sqrt{\frac32} - \sqrt{\frac12}}2\)^2 = 1[/tex]
По същата аналогия за x < 2.

[0xdeadbeef]

stats_w6%27.jpg (13.7 KiB) Прегледано 4608 пъти

[v1rusman]

Измислихте ли нещо за 65-та, стереометричната ?

[prodanov]

Мислих бая време, но стереометрията ми не е на ниво. Все пак стигнах до следните изводи:
1) [tex]D_1[/tex] лежи на ъглополувящата на[tex]\angle ABC \Leftrightarrow AD=CD[/tex]
2) Ако [tex]H = AC\cap BD_1[/tex], то [tex]\angle AHB=90^\circ[/tex] и [tex]AD_1=CD_1[/tex], т.е [tex]ABCD_1[/tex] е ромбоид(май така се казваше) и височината на [tex]\Delta ADC[/tex] съвпада с [tex]H[/tex].
3) [tex]BD_1[/tex] е диаметър [tex]\Rightarrow \angle BAD_1 = \angle BCD_1 = 90^\circ[/tex]
и разбира се с Питагор намерих височините на \angle AD_1B, \angle BD_1C, \angle ADB, \angle BDC съответно 1 и [tex]\sqrt2[/tex]

и до там...

[prodanov]

Някой 74-та?

74(9т) [tex]log^2_2x + \frac{1 - 2log_{4x}2}{2^{log_{\frac14}(x-1).log_{\sqrt2}2}log_{4x}2} = 6-2x[/tex]

75(a) 3т; b) 9т)
[tex]a)\vspace{}\frac{4log^2_5x + 3log_5x - 1}{log_5x} \le 0[/tex]
[tex]b)\vspace{} x^43^{\frac{log_{\sqrt[3]7}5}{log_73}} \le 5^{log_x5}[/tex]

[v1rusman]

На б) получавам [tex](0;\frac{1}{\sqrt[5]{125} } ][/tex]. Не съм го смятал втори път, може и да трябва да се коригира отговора.

[v1rusman]

На 74-та правиш ДС, обръщаш логаритъма да е при основа 2, полагам [tex]log_{2}x=y[/tex], съставяш квадратно уравнение относно y и получаваш x=1/4, x=2, като първият корен не е от ДС. Значи само х=2.

[prodanov]

По-добре дай решение, щото не е верен. ^Разпиши го - имаш грешка някъде.

[ganka simeonova]

Измислихте ли нещо за 65-та, стереометричната ?

Докажи, че триъгълник АВС е правоъгълен

[v1rusman]

Ами като заместя с х=2 се получава равенство или ти говориш за задачата с неравенството - на нея може да съм сбъркал сметките, както ти казах. Важна е идеята - правиш степента на чилосто 3 да е лограритъм с основа 3, както и 5-цата да е логаритъм с основа 5 и просто решаваш.

[prodanov]

a ти за 74та говориш, да само 2 е.

След опростяване се получава квадратно у-е [tex]log^2_2x + (x-1)log_2x + 2x - 6 = 0[/tex]; С единствен корен [tex]log_2x = 3-x[/tex] откъдето лесно се доказва, че има реш само при х=2.

75 б) ти е грешно.

[mkmarinov]

Съвет: уравнението (74з.) не го пишете и приемайте за квадратно ако задачите се проверяват от сериозни хора. Би трябвало да не вземат точки за това, но проверяващ в лошо настроение е в пълното си право да не оцени задачата за напълно решена.

[prodanov]

Как иначе да се реши?

[mkmarinov]

Например с групиране. Горното се разлага до
[tex](log_2x-(3-x))(log_2x+2)=0[/tex]

[prodanov]

Има ли това групиране някаква технология за нацелване или си е тото? По много начини пробвах да ги групирам и 5 минути отидоха докато ги нацеля всичките. Има ли някой теория(+упражнение) по въпроса?

[Mr.G{}{}Fy]

Има ли това групиране някаква технология за нацелване или си е тото? По много начини пробвах да ги групирам и 5 минути отидоха докато ги нацеля всичките. Има ли някой теория(+упражнение) по въпроса?

В този случай,както е с логаритмите,ако си на изпит да речем може на чернова да си го решиш като квадратно,а за да не ти направят проблем(както казват,че може да стане) просто след като си го решил и си намерил корените на това квадратно уравнение виждаш какво трябва да се получи при разлагането и от това се ориентираш как да го разложиш . Само се надявам да не съм разбрал грешно за какво говорите,че не съм гледал даже 74 задача(в смисъл не съм я разписвал)

[mkmarinov]

В общи линии, да - намираш 'корените' и след това знаеш как трябва да се разложи. Не е много вероятно да правят проблеми заради това, но съм виждал такива случаи, при това на (иначе) напълно решена задача.

[v1rusman]

Не виждам какъв е проблемът да се разглежда като квадратно и защо биха ти взели точки ? Освен това на изпит в СУ, ако си видиш работата и някъде са ти взели точки за такова нещо, оценката може ли да се поправи, или е окончателно, както предполагам ?

На неравенството колко се получава, че не ми се сметя.

[prodanov]

В СУ ако ще луната да е в пълна фаза и проверяващия да е гладен на хрътка, няма да ти вземат точки, щото задачата е от Чакърян и там е решена като квадратно.

Проблема е, че същата променлива, върху която решаваш квадратно уравнение, участва в дискриминантата. На мен ми звучеше идеята да се реши като квадратно налудничева в началото, но нямаше как.

[tex]x\in(0,\frac15] \cup (1,\sqrt[4]5][/tex]

[int]

Действително да разглеждате нещо подобно като квадратно уравнение не е съвсем разумно, защото това дори не е полином на x. Всъщност бихте могли да постъпите по следния начин. Да положите [tex]f(x,t)=t^2+(x-1)t+2x-6[/tex] да разложите по t както се разлага квадратен тричлен и накрая да си напишете уравнението във вида [tex]f(x,
\log_{2}x)=\ldots=0[/tex]

[ganka simeonova]

Действително да разглеждате нещо подобно като квадратно уравнение не е съвсем разумно, защото това дори не е полином. Всъщност бихте могли да постъпите по следния начин. Да положите [tex]f(x,t)=t^2+(x-1)t+2x-6[/tex] да разложите по t както се разлага квадратен тричлен и накрая да си напишете уравнението във вида [tex]f(x,
\log_{2}x)=\ldots=0[/tex]

Това вече ми хареса

[0xdeadbeef]

(5т.) Задача 76. Нека [tex]a,b[/tex] и [tex]c[/tex] са реални числа такива, че [tex]a - 7b +8c=4[/tex] и [tex]8a + 4b -c = 7[/tex], тогава намерете стойноста на [tex]a^2 - b^2 + c^2[/tex].

[strangerforever]

Сигурно има и по-лесен начин, но:

След умножаване на второто уравнение с 8:

[tex]a - 7b + 8c = 4[/tex]
[tex]64a + 32b - 8c = 56[/tex]

След събиране:

[tex]65a + 25b = 60[/tex]

[tex]b = \frac{12 - 13a}{5}[/tex]

След умножаване на първоначалните две уравнения с 4 и 7 съответно:

[tex]4a - 28b + 32c = 16[/tex]
[tex]56a + 28b - 7c = 49[/tex]

След събиране:

[tex]60a + 25c = 65[/tex]

[tex]c = \frac{13 - 12a}{5}[/tex]

Тогава [tex]a^2 - b^2 + c^2 = a^2 + (c-b)(c+b) = a^2 + \frac{1-a}{5}.\frac{25 - 25a}{5} = a^2 + 1 - a^2 = 1[/tex]

[0xdeadbeef]

(3т.) Задача 77. [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са реални числа такива, че [tex]x^2 + y^2 = 14x + 48y[/tex]. Намерете най-малката стойност на [tex]y[/tex].