Кандидат-студентски задачи

[strangerforever]

[tex]x^2 - 14x + y^2 - 48y = 0[/tex]

Решаваме го като квадратно спрямо x:

[tex]D_1 = 49 - y^2 + 48y[/tex]

Понеже x е реално число е нужно уравнението да има поне един реален корен.

[tex]49 - y^2 + 48y \ge 0[/tex]

[tex]y \in [-1;49][/tex]

-1.

[ganka simeonova]

Може ли още едно решение? С помощта на аналитичната геометрия. Прибавяйки и изваждайки 576 и 49, получаваме:
[tex](y-24)^2+(x-7)^2=25^2[/tex].
Това е у-е на окръжност с център О(7; 24) и радиус 25.Ако я изобразим в/у декартова коорд. с-ма, ще видим, че най- малката стойност на у се достига за у=-1.

[mkmarinov]

И без да чертаем окръжността, [tex]|y-24| \le 25[/tex] трябва да бъде изпълнено.

[prodanov]

[tex]78)\vspace{}sin18^\circ=?[/tex]

[BTK Strangler]

78 задача
[tex]sin5x = sin(2x+3x) =\\<br> = sin2x.cos3x + sin3x.cos2x = 2sinxcosx.(4cos^{3}x-3cosx) + cos2x.(3sinx-4sin^{3}x) = \\<br> =2sinx(1-sin^{2}x)(4(1-sin^{2}x) - 3) + sinx(1-2sin^{2}x)(3-4sin^{2}x) = \\<br> =sinx[(2-2sin^{2}x)(1-4sin^{2}x)+ (1-2sin^{2}x)(3-4sin^{2}x)]= \\<br> =sinx(16sin^{4}x - 20sin^{2}x + 5) = \\<br> = 16sin^{5}x - 20sin^{3}x + 5sinx[/tex]

Сега като сложим [tex]x=18^\circ[/tex] и [tex]sin18^\circ = a[/tex] става:
[tex]16a^{5}-20a^{3}+5a = sin90^\circ = 1 \Leftrightarrow 16a^{5}-20a^{3}+5a-1=0 \\<br>(a-1)(4a^2+2a-1)^2 = 0 \\<br>a_{1}=1 \vspace{}, a_{2} = \frac{-1-\sqrt{5}}{4}, \vspace{} a_{3} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}[/tex]
a=1 не може да е решение, а2 - също, тъй като търсения синус е >0.
Остава [tex]\fbox{sin18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}}[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

78 задача
[tex]sin5x = sin(2x+3x) =\\<br> = sin2x.cos3x + sin3x.cos2x = 2sinxcosx.(4cos^{3}x-3cosx) + cos2x.(3sinx-4sin^{3}x) = \\<br> =2sinx(1-sin^{2}x)(4(1-sin^{2}x) - 3) + sinx(1-2sin^{2}x)(3-4sin^{2}x) = \\<br> =sinx[(2-2sin^{2}x)(1-4sin^{2}x)+ (1-2sin^{2}x)(3-4sin^{2}x)]= \\<br> =sinx(16sin^{4}x - 20sin^{2}x + 5) = \\<br> = 16sin^{5}x - 20sin^{3}x + 5sinx[/tex]

Сега като сложим [tex]x=18^\circ[/tex] и [tex]sin18^\circ = a[/tex] става:
[tex]16a^{5}-20a^{3}+5a = sin90^\circ = 1 \Leftrightarrow 16a^{5}-20a^{3}+5a-1=0 \\<br>(a-1)(4a^2+2a-1)^2 = 0 \\<br>a_{1}=1 \vspace{}, a_{2} = \frac{-1-\sqrt{5}}{4}, \vspace{} a_{3} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}[/tex]
a=1 не може да е решение, а2 - също, тъй като търсения синус е >0.
Остава [tex]\fbox{sin18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}}[/tex]

Няма ли да е по-лесно така: [tex]cos(3.18)=sin(2.18)[/tex]

[prodanov]

[tex]79)\vspace{} 3tg^2x + 4tgx + 4cotgx + 3cotg^2x + 2 =0[/tex]

[strangerforever]

78 задача
[tex]sin5x = sin(2x+3x) =\\<br> = sin2x.cos3x + sin3x.cos2x = 2sinxcosx.(4cos^{3}x-3cosx) + cos2x.(3sinx-4sin^{3}x) = \\<br> =2sinx(1-sin^{2}x)(4(1-sin^{2}x) - 3) + sinx(1-2sin^{2}x)(3-4sin^{2}x) = \\<br> =sinx[(2-2sin^{2}x)(1-4sin^{2}x)+ (1-2sin^{2}x)(3-4sin^{2}x)]= \\<br> =sinx(16sin^{4}x - 20sin^{2}x + 5) = \\<br> = 16sin^{5}x - 20sin^{3}x + 5sinx[/tex]

Сега като сложим [tex]x=18^\circ[/tex] и [tex]sin18^\circ = a[/tex] става:
[tex]16a^{5}-20a^{3}+5a = sin90^\circ = 1 \Leftrightarrow 16a^{5}-20a^{3}+5a-1=0 \\<br>(a-1)(4a^2+2a-1)^2 = 0 \\<br>a_{1}=1 \vspace{}, a_{2} = \frac{-1-\sqrt{5}}{4}, \vspace{} a_{3} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}[/tex]
a=1 не може да е решение, а2 - също, тъй като търсения синус е >0.
Остава [tex]\fbox{sin18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}}[/tex]

Няма ли да е по-лесно така: [tex]cos(3.18)=sin(2.18)[/tex]

Естествено, че е по-лесно.

[tex]x = 18^\circ[/tex]

[tex]cos3x = sin2x[/tex]
[tex]4cos^3x - 3cosx = 2sinxcosx[/tex]

Делим на [tex]cosx \ne 0[/tex]

[tex]4cos^2x - 3 = 2sinx[/tex]
[tex]4 - 4sin^2x - 3 - 2sinx = 0[/tex]
[tex]4sin^2x + 2sinx - 1 = 0[/tex]

[tex]sinx_1 = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{4}[/tex]
[tex]sinx_2 = \frac{\sqrt{5}-1}{4}[/tex]

Само второто е решение.

[BTK Strangler]

[tex]79)\qquad{d} 3tg^2x + 4tgx + 4cotgx + 3cotg^2x + 2 =0[/tex]

[tex]3tg^2x + 4tgx + 4cotgx + 3cotg^2x + 2 =0\\ 3(tg^2x + \frac{1}{tg^2x}) + 4(tgx + \frac{1}{tgx}) + 2=0\\let \vspace{} tgx + \frac{1}{tgx} = t;\vspace{} \vspace{}\vspace{} then\vspace{}\vspace{} tg^2x+\frac{1}{tg^2x} =t^2-2\\ \Rightarrow 3(t^2-2)+4t+2=0\\ 3t^2+4t-4=0\\
t_{1}=-2, \vspace{}\vspace{} t_{2} = \frac{2}{3};\\ \Rightarrow\vspace{}\vspace{}1)\vspace{} tgx+\frac{1}{tgx} = -2;\vspace{}\vspace{} 2)\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{} tgx+\frac{1}{tgx} = \frac{2}{3};\\1)\vspace{}\vspace{} tgx +\frac{1}{tgx} +2=0 \Leftrightarrow tg^2x+2tgx+1=0\Leftrightarrow(tgx+1)^2=0 \Leftrightarrow tgx=-1\Leftrightarrow \fbox{x=\frac{3\pi }{4}+k\pi }\in \cyr{DM}\\2)\vspace{}\vspace{} tgx+\frac{1}{tgx} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow3tg^2x-2tgx+3=0 \vspace{}\vspace{}\vspace{} D<0;[/tex]

[prodanov]

80 - 9т) за кои стойности на параметъра а има решение.
[tex]sinx + a(sinx+cosx - 2) = cosx[/tex]

81 - 4т)
[tex]cos^3x=sinx[/tex]

[v1rusman]

За зад.81 използваш, че [tex]cosx^3=sinx => cos^3x = sinx(sin^2x+cos^2x)[/tex]. Делим на [tex]cos^3x[/tex]≠0 и получаваме уравнението [tex]a^3+a-1=0,a=tgx[/tex]. Решението е такова х, че [tex]tgx = \sqrt[3]{\frac{1}{ 2} +\sqrt[2]{\frac{1}{ 4} +\frac{1}{27 } } }+\sqrt[3]{\frac{1}{ 2} -\sqrt[2]{\frac{1}{ 4} +\frac{1}{27 } } }, tgx\in (0;1)[/tex].

[v1rusman]

За втората делим на стойността пред а, като гледаме да не е равна на 0 и изследваме функцията. Получавам [tex]a\in[-1;1][/tex]. Толкова ли е ?

[prodanov]

Толко да, я е разпиши.

[BTK Strangler]

80 - 9т) за кои стойности на параметъра а има решение
[tex]sinx + a(sinx+cosx - 2) = cosx[/tex]

[tex]f(x) = \frac{cosx-sinx}{cosx+sinx-2} = a[/tex] Знаменателя не може да е 0, тъй като sinx и cosx не могат да бъдат едновременно 1ца.
Та:
[tex]f(x) = \frac{cosx-sinx}{cosx+sinx-2}\\<br>f'(x) = \frac{(-sinx-cosx)(cosx+sinx-2) - (cosx-sinx)(cosx-sinx)}{(cosx+sinx-2)^2} =\frac{2(sinx+cosx-1)}{(cosx+sinx-2)^2}[/tex]
f'(x) се занулява при [tex]x_{1}=2k\pi ;\vspace{} x_{2}=\frac{\pi }{2}+2lp[/tex]
С непосредствена проверка във f''(x) се установява, че max е f(x2)=-1 , а min е f(x1)=-1. T.e. [tex]a\in [-1;1][/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

На 81 как се получава този отговор и защо накрая имаме интервал ?

[0xdeadbeef]

80 - 9т) за кои стойности на параметъра а има решение
[tex]sinx + a(sinx+cosx - 2) = cosx[/tex]

[tex](a+1)\sin{x} + (a-1)\cos{x}=\sqrt{2a^2 + 2}\sin{(\varphi + x)}=2a \Rightarrow |2a| \le \sqrt{2a^2 +2}[/tex].
Последното неравенство има решения за [tex]a \in [-1,1][/tex].
П.П. Това е малко нахвърлено ...

[v1rusman]

BTK Strangler ме е изпреварил с решението, но това е хубаво, защото моето е същото и щях да изгубя време да го описвам, като щяха мненията ни да се дублират. И аз го правя с изследване на функция.

За 81 задача интервал реално няма - просто съм написал този tgx къде принадлежи ориентировачно, а това идва от факта, че уравнението има корен в интервала (0;1). Иначе корена идва от формули за намиране на корен на кубично уравнение. Много ме съмнява да е това отговора. По скоро биха написали, че tgx приема еди каква си стойност и оттам да се направи извод за х.

Ще дадеш ли отговор на 81 ?

[prodanov]

има една двойка пред cos-а ,която съм изпуснал. Иначе си я решил, така се решава.

[v1rusman]

Е с 2-ка отпред ще се получат хубави отговори - тогава сигурно ще е нагласено да нямаш корен кубичен.

[Mr.G{}{}Fy]

А тези формули,за които спомена v1risman учат ли се в училище? И ако се учат кога ? Знам,че на Ойлер има някакви такива работи,но дали се учат в училище ...

[ganka simeonova]

А тези формули,за които спомена v1risman учат ли се в училище? И ако се учат кога ? Знам,че на Ойлер има някакви такива работи,но дали се учат в училище ...

Моля те, разкарай тези формули за корените на кубично у-е от главата си! Няма да ти потрябват никога на изпит!

[Mr.G{}{}Fy]

А тези формули,за които спомена v1risman учат ли се в училище? И ако се учат кога ? Знам,че на Ойлер има някакви такива работи,но дали се учат в училище ...

Моля те, разкарай тези формули за корените на кубично у-е от главата си! Няма да ти потрябват никога на изпит!

Ами то искам,не искам аз не ги знам даже Просто ми стана интересно.

[0xdeadbeef]

(4т.) Задача 82. Дадена е функцията [tex]f(x) = \sqrt{1-x} + \sqrt{1+x}[/tex].
a) Да се намери най-голямата и най-малката `и стойност.
б) Решете уравнението [tex]f(\cos{t})=2[/tex] за [tex]t\in[0,2\pi][/tex].
ТУ(Сф.)-1994
(5т.) Задача 83. Нека [tex]f(x) = \frac{\sin{x}}{\sqrt[3]{\cos{x}}} -x[/tex].
a) Да се докаже, че [tex]f'(x) \ge 0[/tex] за всяко реално число [tex]x\not= \frac{\pi}{2} + k\pi, k\in \mathbb{Z}[/tex]
б) Да се докаже, че [tex]\sin{3}\sqrt[3]{\cos{2}} -\sin{2}\sqrt[3]{\cos{3}} > \sqrt[3]{\cos{2}\cos{3}}[/tex].
СУ-1996

[mkmarinov]

82)
[tex]\sqrt{a}+\sqrt{b} \ge \sqrt{a+b} => f(x) \ge \sqrt{1-x+1+x}=\sqrt{2}[/tex], равенство за [tex]x=\pm 1[/tex]
За НГС, полагаме [tex]x=cost[/tex]. [tex]g(t)=f(x)=\sqrt{2}(|\sin\frac{t}{2}|+|\cos\frac{t}{2}|)[/tex]. Сбора на модулите, както и да ги разкриваме, е по-малък или равен на корен от 2, така че НГС е 2 и се достига при [tex]\frac{t}{2}=\frac{(2k+1)\pi}{4}[/tex], или [tex]t=\frac{2k+1}{2}\pi, x=0[/tex]. Това решава и б).

ЕДИТ: Също може и да се направи:
[tex]f(x)=\sqrt{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^2}=\sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}[/tex], което я прави растяща спрямо [tex]1-x^2[/tex], т.е. имат максимуми и минимуми за същите стойности на х.

[ven4ov_1]

Даден е равнобедрен трапец ABCD с основи AB=24 и CD=8.Да се намери стоиноста на тангенса на \angle DAC ,ако височината на трапеца е CE=6.

В правоъгълен \Delta ABC с хипотенуза AB е вписана полуокръжност,която се допира до катетите му,а центърът й лежи върху хипотенузата AB и я разделя на части с дължина 30/7 и 40/7 . Да се намери лицето на \Delta ABC